Heat Transfer (ME 50042) All Units Notes in Hindi & English, Mechanical Engineering 5th Semester

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HEAT TRANSFER

ME 50041

UNIT-I: CONDUCTION

Revision Notes

UNIT-I: CONDUCTION

English Notes:

1. Fourier's Law of Heat Conduction for Isotropic Material

Fourier's law states that the rate of heat conduction through a material is directly proportional to the negative gradient of temperature and the area through which the heat flows, and inversely proportional to the thickness of the material. Mathematically, it is expressed as:

$$q = -k \frac{dT}{dx}$$

Where:

• $q$ = Heat flux (W/m²)
• $k$ = Thermal conductivity of the material (W/m·K)
• $\frac{dT}{dx}$ = Temperature gradient in the direction of heat flow (K/m)

For isotropic materials, the thermal conductivity ($k$) is the same in all directions.

2. Thermal Conductivity

Thermal conductivity is a physical property of a material that indicates its ability to conduct heat. Materials with high thermal conductivity (like metals) transfer heat efficiently, while materials with low thermal conductivity (like wood, plastic, or rubber) are poor conductors of heat.

• SI Unit of thermal conductivity is W/m·K.

3. Energy Equation Derivation in Three Dimensions

The energy equation in three dimensions takes into account the heat conduction in all directions. The general form of the heat conduction equation, or the heat diffusion equation, is derived from the first law of thermodynamics, which balances the rate of change of internal energy and the heat flux. In three dimensions, the equation is:

$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + Q$$

Where:

• $\rho$ = Density of the material (kg/m³)
• $c_p$ = Specific heat at constant pressure (J/kg·K)
• $\frac{\partial T}{\partial t}$ = Rate of change of temperature with time (K/s)
• $\nabla \cdot (k \nabla T)$ = Heat conduction term (W/m³)
• $Q$ = Heat generation term (W/m³)

This equation describes the temperature field within the material over time, taking into account heat conduction and internal heat generation.

4. Types of Boundary Conditions

• Dirichlet Boundary Condition: This specifies the value of the temperature at the boundary. For example, $T(x=0) = T_0$, where $T_0$ is a known temperature at a specific point.

• Neumann Boundary Condition: This specifies the rate of heat transfer (or the heat flux) normal to the boundary. For example, $\frac{dT}{dx}(x=0) = q_0$, where $q_0$ is the heat flux at a boundary.

• Mixed Boundary Condition: A combination of both Dirichlet and Neumann boundary conditions. For example, $T(x=0) = T_0$ and $\frac{dT}{dx}(x=L) = q_0$.

5. One-Dimensional Solution with and without Heat Generation

• Without Heat Generation: In the case where there is no internal heat generation, the one-dimensional heat conduction equation becomes:

  $$\frac{d^2T}{dx^2} = 0$$
  

  The general solution is a linear temperature distribution, which is commonly used in steady-state problems. The solution will depend on the boundary conditions.

• With Heat Generation: If there is internal heat generation (due to chemical reactions, electrical resistance, etc.), the equation becomes:

  $$\frac{d^2T}{dx^2} = -\frac{Q}{k}$$

  The solution to this equation gives the temperature profile with a non-zero heat generation term.

6. Analogy with Electrical Circuits

There is a well-known analogy between heat conduction and electrical circuits. This analogy can be summarized as:

• Voltage (V) is analogous to Temperature (T)
• Current (I) is analogous to Heat Flux (q)
• Resistance (R) is analogous to Thermal Resistance (R_thermal)

The equation for heat conduction can be expressed similarly to Ohm's law for electrical circuits:

$$q = \frac{T_1 - T_2}{R_{thermal}}$$

Where $T_1$ and $T_2$ are temperatures at the two ends, and $R_{thermal} = \frac{L}{kA}$ is the thermal resistance, with $L$ being the length, $k$ the thermal conductivity, and $A$ the cross-sectional area.

7. Simple Numerical Problem

Problem 1:

A metal rod of length 2 meters and cross-sectional area of 1 cm² has one end at 100°C and the other end at 50°C. The thermal conductivity of the metal is 200 W/m·K. Calculate the heat transfer rate through the rod.

Solution:

Given:

• Length of the rod, $L = 2 \, \text{m}$
• Cross-sectional area, $A = 1 \, \text{cm}^2 = 1 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$
• Temperature difference, $\Delta T = 100^\circ C - 50^\circ C = 50^\circ C$
• Thermal conductivity, $k = 200 \, \text{W/m·K}$

Using Fourier's Law:

$$q = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$$

Substituting the values:

$$q = \frac{200 \times 1 \times 10^{-4} \times 50}{2}$$ $$q = \frac{200 \times 50 \times 10^{-4}}{2} = \frac{10000 \times 10^{-4}}{2} = 0.5 \, \text{W}$$

Therefore, the heat transfer rate through the rod is $0.5 \, \text{W}$.

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Hindi Notes:

1. फुरियर का ताप संवहन नियम (Fourier's Law of Heat Conduction)

फुरियर का नियम कहता है कि किसी पदार्थ के माध्यम से ताप का संचरण तापमान के नकारात्मक ग्रेडियेंट के अनुपात में और उस क्षेत्रफल के अनुपात में होता है, जिसके माध्यम से ताप प्रवाहित होता है, और यह पदार्थ की मोटाई के विपरीत अनुपात में होता है। गणितीय रूप से:

$$q = -k \frac{dT}{dx}$$

जहाँ:

• $q$ = तापीय प्रवाह (W/m²)
• $k$ = पदार्थ की तापीय चालकता (W/m·K)
• $\frac{dT}{dx}$ = तापमान का ग्रेडियेंट (K/m)

2. तापीय चालकता (Thermal Conductivity)

तापीय चालकता एक भौतिक गुण है जो किसी पदार्थ की ताप संचारित करने की क्षमता को दर्शाता है। उच्च तापीय चालकता वाले पदार्थ (जैसे धातु) ताप को कुशलता से संचारित करते हैं, जबकि निम्न तापीय चालकता वाले पदार्थ (जैसे लकड़ी, प्लास्टिक, रबर) ताप के अच्छे चालक नहीं होते हैं।

• तापीय चालकता का SI यूनिट W/m·K है।

3. तीन आयामों में ऊर्जा समीकरण (Energy Equation in Three Dimensions)

यह समीकरण पदार्थ के अंदर समय के साथ तापीय वितरण को व्यक्त करता है, जिसमें ताप संवहन और आंतरिक तापीय जनन दोनों का ध्यान रखा गया है। तीन आयामों में तापीय संचरण समीकरण:

$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + Q$$

जहाँ:

• $\rho$ = पदार्थ का घनत्व (kg/m³)
• $c_p$ = स्थिर दबाव पर विशिष्ट गर्मी (J/kg·K)
• $\frac{\partial T}{\partial t}$ = तापमान में परिवर्तन की दर (K/s)
• $\nabla \cdot (k \nabla T)$ = ताप संवहन भाग (W/m³)
• $Q$ = आंतरिक ताप जनन (W/m³)

4. सीमा शर्तों के प्रकार (Types of Boundary Conditions)

• डिरिचलेट सीमा शर्त (Dirichlet Boundary Condition): यह सीमा पर तापमान के मान को निर्दिष्ट करती है।

• न्युमान सीमा शर्त (Neumann Boundary Condition): यह सीमा पर तापीय प्रवाह को निर्दिष्ट करती है।

• मिश्रित सीमा शर्त (Mixed Boundary Condition): यह डिरिचलेट और न्युमान शर्तों का संयोजन होती है।

5. एक आयामी समाधान (One-Dimensional Solution)

• बिना ताप जनन के (Without Heat Generation): यदि आंतरिक ताप जनन नहीं है, तो समीकरण:

  $$\frac{d^2T}{dx^2} = 0$$
  

  इसका सामान्य समाधान रेखीय ताप वितरण होता है।

• ताप जनन के साथ (With Heat Generation): यदि आंतरिक ताप जनन है, तो समीकरण:

  $$\frac{d^2T}{dx^2} = -\frac{Q}{k}$$

  इसका समाधान तापीय प्रोफाइल को दर्शाता है जिसमें आंतरिक ताप जनन होता है।

6. विद्युत परिपथों के साथ समानता (Analogy with Electrical Circuits)

तापीय संचरण और विद्युत परिपथों के बीच समानता है। इस समानता के अनुसार:

• वोल्टेज (V) = तापमान (T)
• करंट (I) = तापीय प्रवाह (q)
• प्रतिरोध (R) = तापीय प्रतिरोध (R_thermal)

ताप संवहन समीकरण को ओहम के नियम के समान रूप में लिखा जा सकता है:

$$q = \frac{T_1 - T_2}{R_{thermal}}$$

7. साधारण संख्यात्मक समस्या (Simple Numerical Problem)

समस्या 1:

एक धातु की छड़ी की लंबाई 2 मीटर और क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफल 1 सेंटीमीटर² है। एक छोर का तापमान 100°C और दूसरे छोर का तापमान 50°C है। धातु की तापीय चालकता 200 W/m·K है। छड़ी के माध्यम से ताप संचरण दर की गणना करें।

समाधान:

दी गई जानकारी:

• लंबाई $L = 2 \, \text{m}$
• क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफल $A = 1 \, \text{cm}^2 = 1 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$
• तापमान अंतर $\Delta T = 100^\circ C - 50^\circ C = 50^\circ C$
• तापीय चालकता $k = 200 \, \text{W/m·K}$

फुरियर के नियम का उपयोग करते हुए:

$$q = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$$

सभी मानों को स्थानापन्न करें:

$$q = \frac{200 \times 1 \times 10^{-4} \times 50}{2} = 0.5 \, \text{W}$$

इसलिए, छड़ी के माध्यम से ताप संचरण दर $0.5 \, \text{W}$ है।

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UNIT-II: FINS

Revision Notes

UNIT-II: FINS

English Notes:

1. Introduction to Fins

Fins are extended surfaces used to increase the heat transfer rate from a surface. They are commonly used in heat exchangers, radiators, and other devices where heat dissipation is important. Fins increase the surface area available for heat transfer, which helps to improve the rate at which heat is transferred from the surface to the surrounding medium.

There are two main types of fins:

• Rectangular Fins
• Pin Fins

2. Rectangular Fins

A rectangular fin is a flat, extended surface that is usually attached to a body to enhance heat dissipation. It is a two-dimensional surface, and heat is conducted along the length and width of the fin.

• Heat conduction occurs along the fin, and heat is transferred from the fin to the surrounding air by convection.
• The thermal conductivity of the material, the temperature difference between the fin and surrounding medium, and the convective heat transfer coefficient determine the effectiveness of the fin.

3. Pin Fins

Pin fins are short cylindrical or prismatic fins used for enhancing heat transfer. These fins are used when there is limited space for extended surfaces. Pin fins create turbulence in the fluid flow around them, which helps to enhance the heat transfer rate due to the increased convective heat transfer coefficient.

4. Fin Effectiveness

The effectiveness of a fin is the ratio of the heat transfer rate from the fin to the heat transfer rate that would occur if the entire surface were at the temperature of the base.

Mathematically, fin effectiveness $\varepsilon_f$ is given by:

$$\varepsilon_f = \frac{\text{Heat transfer rate with the fin}}{\text{Heat transfer rate without the fin}}$$

The effectiveness depends on the fin’s design, such as its length, shape, and material. A more effective fin transfers more heat compared to a fin with low effectiveness.

5. Fin Efficiency

The efficiency of a fin refers to the ratio of the actual heat transferred by the fin to the maximum heat that could be transferred if the entire fin were at the temperature of the base.

Fin efficiency $\eta_f$ is given by:

$$\eta_f = \frac{\text{Actual heat transfer by the fin}}{\text{Maximum possible heat transfer by the fin}}$$

Efficiency is always less than or equal to 1, and it provides a measure of how well the fin performs in terms of heat dissipation.

6. Critical Thickness of Insulation

The critical thickness of insulation refers to the thickness of insulation beyond which the heat loss actually increases.

When insulation is applied to a surface, it initially reduces the heat loss. However, after a certain thickness, the thermal resistance due to the insulation becomes so high that it reduces the heat transfer rate. This happens because, beyond the critical thickness, the heat conducted to the outer surface cannot escape easily, and the insulation becomes a barrier to heat dissipation.

The critical thickness $r_{critical}$ for a cylindrical surface is given by:

$$r_{critical} = \frac{k}{h}$$

Where:

• $k$ is the thermal conductivity of the insulation (W/m·K)
• $h$ is the convective heat transfer coefficient (W/m²·K)

For a flat surface, the critical thickness is also defined similarly.

7. Simple Numerical Problem

Problem:

A rectangular fin has a length of 10 cm, a width of 5 cm, and a thickness of 1 cm. The thermal conductivity of the material is 200 W/m·K, and the heat transfer coefficient is 50 W/m²·K. Calculate the fin effectiveness and efficiency, assuming that the temperature at the base of the fin is 100°C and the surrounding air temperature is 30°C.

Solution:

Given:

• Length of the fin $L = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}$
• Width of the fin $W = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}$
• Thickness of the fin $t = 1 \, \text{cm} = 0.01 \, \text{m}$
• Thermal conductivity $k = 200 \, \text{W/m·K}$
• Heat transfer coefficient $h = 50 \, \text{W/m²·K}$
• Base temperature $T_b = 100^\circ C$
• Surrounding temperature $T_\infty = 30^\circ C$

1. Calculating Fin Effectiveness:

To calculate fin effectiveness, we need to first calculate the heat transfer rate with and without the fin. However, this can be done using the following formula for a rectangular fin:

$$\varepsilon_f = \frac{\text{Heat transfer rate with fin}}{\text{Heat transfer rate without fin}} = \frac{ \tanh(mL) }{ mL }$$

Where:

• $m = \sqrt{\frac{hP}{kA}}$
• ​ (m is a parameter related to the material properties and the fin dimensions)
• $P = 2(W + t)$ is the perimeter of the fin
• $A = W \times t$ is the cross-sectional area of the fin

We can solve for $m$, and then calculate the effectiveness $\varepsilon_f$.

2. Calculating Fin Efficiency:

The efficiency of a fin is given by:

$$\eta_f = \frac{\tanh(mL)}{mL}$$

Substitute the calculated values into the formula to find the fin efficiency.

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Hindi Notes:

1. फिन्स का परिचय (Introduction to Fins)

फिन्स विस्तारित सतहें होती हैं जो सतह से गर्मी के संचरण को बढ़ाने के लिए उपयोग की जाती हैं। ये सामान्यत: हीट एक्सचेंजर्स, रेडिएटर्स और अन्य उपकरणों में उपयोग होती हैं जहाँ गर्मी का उत्सर्जन महत्वपूर्ण होता है। फिन्स सतह क्षेत्र को बढ़ाती हैं, जो गर्मी के संचरण दर को बढ़ाने में मदद करती है।

मुख्य प्रकार के फिन्स:

• आयताकार फिन्स (Rectangular Fins)
• पिन फिन्स (Pin Fins)

2. आयताकार फिन्स (Rectangular Fins)

आयताकार फिन एक फ्लैट विस्तारित सतह होती है, जिसे एक शरीर से जोड़ा जाता है ताकि गर्मी के उत्सर्जन को बढ़ाया जा सके। यह एक द्विआयामी सतह होती है, और गर्मी फिन की लंबाई और चौड़ाई के साथ संचारित होती है।

• गर्मी संवहन के माध्यम से फिन से परिवर्तित होती है और बाहर के वायुमंडल में निकल जाती है।
• फिन की गर्मी संचरण दर, सामग्री की तापीय चालकता, तापमान अंतर और संवहनी गर्मी स्थानांतरण गुणांक द्वारा निर्धारित होती है।

3. पिन फिन्स (Pin Fins)

पिन फिन्स छोटे सिलिंड्रिकल या प्रिज्मैटिक फिन्स होते हैं, जो सीमित स्थान में उपयोग किए जाते हैं। ये फिन्स आस-पास के द्रव प्रवाह में गति उत्पन्न करते हैं, जिससे संवहनी गर्मी स्थानांतरण गुणांक में वृद्धि होती है, और इसके कारण गर्मी का संचरण बेहतर होता है।

4. फिन की प्रभावशीलता (Fin Effectiveness)

फिन की प्रभावशीलता वह अनुपात है, जिसमें फिन से होने वाली गर्मी संचरण दर को उस सतह की गर्मी संचरण दर से तुलना की जाती है जो फिन के बिना होती है।

गणितीय रूप से:

$$\varepsilon_f = \frac{\text{फिन से होने वाली गर्मी संचरण दर}}{\text{फिन के बिना गर्मी संचरण दर}}$$

5. फिन की कार्यकुशलता (Fin Efficiency)

फिन की कार्यकुशलता वह अनुपात है, जिसमें वास्तविक गर्मी जो फिन द्वारा स्थानांतरित होती है, को अधिकतम गर्मी से तुलना की जाती है जो स्थानांतरित हो सकती है यदि पूरी फिन बेस तापमान पर होती।

गणितीय रूप से:

$$\eta_f = \frac{\text{वास्तविक गर्मी स्थानांतरण}}{\text{अधिकतम संभावित गर्मी स्थानांतरण}}$$

6. इंसुलेशन की आलोच्य मोटाई (Critical Thickness of Insulation)

आलोच्य मोटाई वह मोटाई होती है, जिसके बाद इंसुलेशन द्वारा गर्मी का नुकसान बढ़ जाता है। इंसुलेशन की प्रारंभिक मोटाई गर्मी के नुकसान को कम करती है, लेकिन एक निश्चित मोटाई के बाद यह नुकसान बढ़ने लगता है। आलोच्य मोटाई का सूत्र है:

$$r_{critical} = \frac{k}{h}$$

7. साधारण संख्यात्मक समस्या (Simple Numerical Problem)

समस्या:

एक आयताकार फिन की लंबाई 10 सेंटीमीटर, चौड़ाई 5 सेंटीमीटर और मोटाई 1 सेंटीमीटर है। इस सामग्री की तापीय चालकता 200 W/m·K है और गर्मी स्थानांतरण गुणांक 50 W/m²·K है। फिन के बेस तापमान 100°C और आसपास के वायुमंडल का तापमान 30°C है। फिन की प्रभावशीलता और कार्यकुशलता की गणना करें।

समाधान:

दी गई जानकारी:

• फिन की लंबाई $L = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}$
• फिन की चौड़ाई $W = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}$
• फिन की मोटाई $t = 1 \, \text{cm} = 0.01 \, \text{m}$
• तापीय चालकता $k = 200 \, \text{W/m·K}$
• गर्मी स्थानांतरण गुणांक $h = 50 \, \text{W/m²·K}$
• बेस तापमान $T_b = 100^\circ C$
• आसपास का तापमान $T_\infty = 30^\circ C$

गणना में फिन की प्रभावशीलता और कार्यकुशलता को निर्धारित किया जाता है, जहाँ हमें पहले फिन की सीमा क्षेत्र, प्रवाह क्षेत्र आदि की गणना करनी होती है।

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UNIT-III: CONVECTION

Revision Notes

UNIT-III: CONVECTION

English Notes:

1. Introduction to Convection:

Convection is a mode of heat transfer that occurs in fluids (liquids or gases) due to the combined effect of fluid motion and thermal conduction. Convection can be classified into two types:

• Natural Convection: Occurs due to the buoyancy effect, where fluid motion is induced by temperature differences within the fluid.
• Forced Convection: Occurs when fluid is forced over a surface or through a medium using external devices like fans or pumps.

The rate of heat transfer by convection is given by Newton's Law of Cooling.

2. Newton's Law of Cooling:

Newton's Law of Cooling describes the rate of heat transfer between a solid surface and a fluid. It states that the rate of heat transfer is directly proportional to the temperature difference between the surface and the fluid, and it is also influenced by the convective heat transfer coefficient.

Mathematically, Newton's law is expressed as:

$$Q = h A (T_s - T_\infty)$$

Where:

• $Q$ = Rate of heat transfer (W)
• $h$ = Convective heat transfer coefficient (W/m²·K)
• $A$ = Surface area (m²)
• $T_s$ = Surface temperature (K or °C)
• $T_\infty$ = Temperature of the fluid far from the surface (K or °C)

3. Momentum and Energy Equations in Two Dimensions:

In fluid mechanics, the momentum equation and the energy equation describe the behavior of fluids in terms of velocity and temperature distribution.

• Momentum Equation: Describes the conservation of momentum in the fluid. It relates the pressure forces, viscous forces, and external forces acting on the fluid.

• Energy Equation: Describes the conservation of energy, accounting for heat transfer due to conduction, convection, and other heat sources.

For a two-dimensional flow, the governing equations are:

1. Continuity Equation (for mass conservation):

   $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{V}) = 0$$

2. Momentum Equation (in two dimensions):

   $$\rho \left( \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \vec{V} \cdot \nabla \vec{V} \right) = - \nabla P + \mu \nabla^2 \vec{V} + \vec{F}$$

3. Energy Equation (for heat transfer):

   $$\rho \left( \frac{\partial h}{\partial t} + \vec{V} \cdot \nabla h \right) = k \nabla^2 T + \Phi$$

Where:

• $\rho$ = Density of the fluid (kg/m³)
• $\vec{V}$ = Velocity vector (m/s)
• $P$ = Pressure (Pa)
• $\mu$ = Dynamic viscosity (Pa·s)
• $k$ = Thermal conductivity (W/m·K)
• $h$ = Specific enthalpy (J/kg)
• $T$ = Temperature (K)
• $\Phi$ = Heat generated (W/m³)

4. Importance of Nondimensional Quantities and Their Physical Significance:

Nondimensional quantities are important because they help in simplifying the analysis and make it possible to compare results across different systems without the need for specific units. The most important nondimensional numbers in convection heat transfer are:

• Reynolds Number (Re): Represents the ratio of inertial forces to viscous forces in a fluid. It helps predict the flow regime (laminar or turbulent).

  $$Re = \frac{\rho u L}{\mu}$$

• Prandtl Number (Pr): Represents the ratio of momentum diffusivity (kinematic viscosity) to thermal diffusivity. It provides insight into the relative thickness of the velocity and thermal boundary layers.

  $$Pr = \frac{\nu}{\alpha}$$

• Nusselt Number (Nu): Represents the ratio of convective to conductive heat transfer across a boundary.

  $$Nu = \frac{hL}{k}$$

These nondimensional numbers are used to define correlations that allow engineers to predict heat transfer rates in various convection processes.

5. Velocity and Thermal Boundary Layer Thickness by Integral Method:

• Velocity Boundary Layer: The region of the fluid where the velocity changes from zero at the surface (due to the no-slip condition) to the free stream velocity. In forced convection, the velocity boundary layer grows in thickness as the fluid moves along the surface.

• Thermal Boundary Layer: The region where the temperature changes from the surface temperature to the free stream temperature. This boundary layer is formed due to the temperature gradient at the surface.

To solve for the boundary layer thickness, we use an integral method where the velocity and temperature profiles are integrated over the boundary layer.

For laminar flow over a flat plate:

• Velocity boundary layer thickness: $\delta_v \approx \frac{x}{\sqrt{Re_x}}$
• Thermal boundary layer thickness: $\delta_t \approx \frac{x}{\sqrt{Pr Re_x}}$

Where:

• $x$ = Distance from the leading edge of the plate
• $Re_x$ = Reynolds number at the distance $x$

6. Effect of Coupling on the Conservation Equations:

Coupling occurs when the momentum, energy, and mass conservation equations are interrelated. In convection, the velocity field affects the temperature distribution, and the temperature distribution affects the velocity field (especially in natural convection). The conservation equations must be solved simultaneously, considering these interactions.

For example, in natural convection, buoyancy forces (due to temperature differences) affect the fluid velocity, which in turn influences heat transfer.

7. Simple Numerical Problem:

Problem:

A flat plate is subjected to air flow with a velocity of 10 m/s. The air has a kinematic viscosity of $1.5 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}$ and a thermal conductivity of 0.026 W/m·K. Calculate the velocity boundary layer thickness at a point 0.5 m from the leading edge of the plate.

Solution:

Given:

• Velocity $u = 10 \, \text{m/s}$
• Kinematic viscosity $\nu = 1.5 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}$
• Distance from the leading edge $x = 0.5 \, \text{m}$

First, calculate the Reynolds number at the point $x = 0.5 \, \text{m}$:

$$Re_x = \frac{u x}{\nu}$$

Then, the velocity boundary layer thickness $\delta_v$ is given by:

$$\delta_v \approx \frac{x}{\sqrt{Re_x}}$$

Substitute the known values to calculate $\delta_v$.

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Hindi Notes:

1. संवहन का परिचय (Introduction to Convection):

संवहन एक हीट ट्रांसफर का तरीका है जो द्रवों (तरल या गैस) में द्रव की गति और ऊष्मीय चालकता के संयुक्त प्रभाव के कारण होता है। संवहन को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

• प्राकृतिक संवहन: यह तापमान अंतर के कारण द्रव में गति उत्पन्न करता है।
• बाध्य संवहन: यह तब होता है जब द्रव को बाहरी उपकरणों द्वारा जैसे पंखे या पंप द्वारा एक सतह के ऊपर या किसी माध्यम में बलित किया जाता है।

2. न्यूटन का शीतलन सिद्धांत (Newton's Law of Cooling):

न्यूटन का शीतलन सिद्धांत यह बताता है कि किसी ठोस सतह और द्रव के बीच ऊष्मा संचरण की दर उस सतह और द्रव के बीच तापमान अंतर के सीधे अनुपाती होती है और यह संवहनी ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक पर निर्भर होती है।

गणितीय रूप में:

$$Q = h A (T_s - T_\infty)$$

3. दो आयामी स्थितियों में संवेग और ऊर्जा समीकरण (Momentum and Energy Equations in Two Dimensions):

• संवेग समीकरण: यह द्रव में संवेग का संरक्षण वर्णित करता है।
• ऊर्जा समीकरण: यह ऊष्मा स्थानांतरण का वर्णन करता है।

4. बिना आयामी मात्राओं का महत्व (Importance of Nondimensional Quantities):

बिना आयामी मात्राएँ इसलिये महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे विश्लेषण को सरल बनाती हैं और विभिन्न प्रणालियों के परिणामों की तुलना करना संभव बनाती हैं।

मुख्य बिना आयामी संख्याएँ:

• रेनोल्ड्स संख्या (Re): प्रवाह के प्रकार को वर्णित करती है (लामिनार या टर्बुलेंट)।
• प्रांडल संख्या (Pr): गतिज विसरण और ऊष्मीय विसरण का अनुपात।
• नस्सेल्ट संख्या (Nu): संवहन के मुकाबले ऊष्मीय चालकता को दर्शाती है।

5. सीमा परत मोटाई की गणना (Velocity and Thermal Boundary Layer Thickness):

सीमा परत की मोटाई की गणना इंटीग्रल पद्धति से की जाती है। यह पद्धति गति और तापमान प्रोफाइल के अंतर्गत सीमा परत के ऊपर की जाती है।

6. संरक्षण समीकरणों पर संयोजन का प्रभाव (Effect of Coupling on the Conservation Equations):

संयोजन तब होता है जब संवेग, ऊर्जा और द्रव्यमान संरक्षण समीकरण एक दूसरे से जुड़े होते हैं। यह संवहन में तापमान और गति के बीच अंतर्संबंध को दर्शाता है।

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UNIT-IV: RADIATION

Revision Notes

UNIT-IV: RADIATION

English Notes:

1. Physical Mechanism of Thermal Radiation:

Thermal radiation is the emission of energy in the form of electromagnetic waves, primarily in the infrared region, due to the temperature of a body. Unlike conduction and convection, radiation does not require a medium to propagate and can occur through a vacuum (e.g., heat from the sun).

• Mechanism: At a microscopic level, thermal radiation is produced by the oscillation of charged particles (mainly electrons) within atoms and molecules of a material. These oscillations result in the emission of electromagnetic radiation.

• Types of Radiation: Radiation can be categorized into:

  • Infrared Radiation: The most common form of thermal radiation emitted by objects at temperatures less than 500°C.
  • Visible Light: Emitted by hotter objects like the sun or an incandescent bulb.
  • Ultraviolet Radiation: Emitted by very hot objects (e.g., stars).

2. Laws of Radiation:

There are three primary laws that govern the behavior of radiation:

• Stefan-Boltzmann Law: It states that the total energy radiated per unit surface area of a black body is proportional to the fourth power of the absolute temperature of the body.

  $$E_b = \sigma T^4$$
  

  Where:

  • $E_b$ = Emissive power (W/m²)
  • $\sigma$ = Stefan-Boltzmann constant ($5.67 \times 10^{-8} \, \text{W/m}^2\text{K}^4$)
  • $T$ = Absolute temperature (K)

• Wien's Displacement Law: It states that the wavelength at which the radiation intensity is maximum is inversely proportional to the temperature of the body.

  $$\lambda_{max} = \frac{b}{T}$$

  Where:

  • $\lambda_{max}$ = Wavelength at maximum intensity (m)
  • $T$ = Absolute temperature (K)
  • $b$ = Wien’s displacement constant ($2.898 \times 10^{-3} \, \text{m·K}$)

• Planck's Law: It gives the spectral distribution of radiation emitted by a black body at a given temperature.

  $$E(\lambda, T) = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{h c}{\lambda k T}} - 1}$$

  Where:

  • $h$ = Planck's constant ($6.626 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$)
  • $c$ = Speed of light ($3 \times 10^8 \, \text{m/s}$)
  • $\lambda$ = Wavelength (m)
  • $k$ = Boltzmann's constant ($1.381 \times 10^{-23} \, \text{J/K}$)
  • $T$ = Absolute temperature (K)

3. Definition of Black Body:

A black body is an idealized physical object that absorbs all incident radiation, regardless of frequency or angle. It does not reflect or transmit any radiation. A perfect black body also emits radiation at the maximum possible intensity for a given temperature, and its emission spectrum is characterized by Planck’s Law.

4. Emissive Power (E):

Emissive power is the amount of energy radiated per unit area of a surface per unit time. It depends on the surface temperature and the material's properties. For a perfect black body, the emissive power is given by the Stefan-Boltzmann law.

5. Intensity of Radiation (I):

Intensity is the energy radiated per unit area per unit solid angle. It is a function of the wavelength and temperature of the radiating body. The intensity can be measured at different angles and wavelengths.

6. Emissivity, Reflectivity, Transmittivity:

• Emissivity ($\epsilon$): It is the ratio of the radiation emitted by a surface to the radiation emitted by a black body at the same temperature. It ranges from 0 (perfect reflector) to 1 (perfect emitter).

• Reflectivity ($\rho$): It is the fraction of the total radiation that is reflected by the surface.

• Transmittivity ($\tau$): It is the fraction of radiation that passes through the surface.

These quantities are related by the equation:

$$\epsilon + \rho + \tau = 1$$

7. Irradiation and Radiosity:

• Irradiation (G): It is the total energy incident on a surface per unit area per unit time. It can be calculated as the sum of the emitted, reflected, and transmitted radiation.

• Radiosity (J): It is the total energy leaving a surface per unit area per unit time, including both emitted and reflected radiation.

8. Radiation Exchange Between Black Bodies:

Radiation exchange between two black bodies occurs through the emission of radiation, which is absorbed and re-emitted by the other body. The exchange of radiation is governed by the Stefan-Boltzmann law and the laws of radiation. If two black bodies are in thermal equilibrium, they exchange equal amounts of radiation.

9. Concept of Gray-Diffuse Isotropic (GDI) Surface:

A Gray-Diffuse Isotropic (GDI) surface is a surface that emits and reflects radiation uniformly in all directions (diffuse), and its emissivity is constant across all wavelengths (gray body).

10. Radiation Exchange Between GDI Surfaces Using Radiation Network and Radiosity Matrix Method:

The radiation network method is used to calculate the heat exchange between surfaces in a system by creating a network of radiation exchange paths. The radiosity matrix method is a mathematical approach for solving radiation exchange problems, where the radiosity values are calculated for each surface.

11. Radiation Shielding:

Radiation shielding refers to materials or structures used to protect from excessive radiation. Shielding reduces the intensity of radiation by absorbing or reflecting it. Common shielding materials include lead, concrete, and water. The effectiveness of shielding is determined by the material's thickness and its ability to absorb or scatter radiation.

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Hindi Notes:

1. ऊष्मीय विकिरण का भौतिक तंत्र (Physical Mechanism of Thermal Radiation):

ऊष्मीय विकिरण एक प्रकार की विद्युतचुंबकीय तरंगों के रूप में ऊर्जा का उत्सर्जन है, जो मुख्य रूप से इन्फ्रारेड क्षेत्र में होती है, और यह एक शरीर के तापमान के कारण उत्पन्न होती है। विकिरण के लिए माध्यम की आवश्यकता नहीं होती, अर्थात यह निर्वात में भी हो सकता है (जैसे सूर्य से गर्मी)।

2. विकिरण के नियम (Laws of Radiation):

विकिरण के तीन प्रमुख नियम हैं:

• स्टेफन-बोल्ट्ज़मैन का नियम: यह कहता है कि किसी काले शरीर से प्रति यूनिट सतह क्षेत्र पर विकिरण की कुल ऊर्जा शरीर के तापमान के चौथे घातांक के समानुपाती होती है।

• वीन का विस्थापन नियम: यह कहता है कि विकिरण तीव्रता के अधिकतम पर होने वाली तरंग दैर्ध्य और शरीर के तापमान के बीच अव्युत्क्रम संबंध होता है।

• प्लैंक का नियम: यह किसी काले शरीर द्वारा उत्सर्जित विकिरण की स्पेक्ट्रल वितरण को देता है।

3. काले शरीर की परिभाषा (Definition of Black Body):

काला शरीर वह आदर्श भौतिक वस्तु है जो सभी आने वाली विकिरण को अवशोषित करता है, चाहे वह किसी भी आवृत्ति या कोण पर हो। यह कोई विकिरण परावर्तित या प्रक्षिप्त नहीं करता।

4. उत्सर्जक शक्ति (Emissive Power):

उत्सर्जक शक्ति वह ऊर्जा होती है जो किसी सतह से प्रति यूनिट क्षेत्र में प्रति यूनिट समय के हिसाब से उत्सर्जित होती है।

5. विकिरण की तीव्रता (Intensity of Radiation):

विकिरण की तीव्रता वह ऊर्जा होती है जो प्रति यूनिट क्षेत्र और यूनिट ठोस कोण में उत्सर्जित होती है।

6. उत्सर्जन, परावर्तन, और पारगम्यता (Emissivity, Reflectivity, Transmittivity):

• उत्सर्जन ($\epsilon$): यह एक सतह द्वारा उत्सर्जित विकिरण का अनुपात होता है।
• परावर्तन ($\rho$): यह सतह द्वारा परावर्तित विकिरण का अनुपात है।
• पारगम्यता ($\tau$): यह विकिरण का अनुपात है जो सतह के माध्यम से गुजरता है।

7. विकिरण और रेडियोसिटी (Irradiation and Radiosity):

• विकिरण ($G$): यह सतह पर आने वाली विकिरण की कुल ऊर्जा होती है।
• रेडियोसिटी ($J$): यह सतह से निकलने वाली विकिरण की कुल ऊर्जा होती है।

8. काले शरीरों के बीच विकिरण आदान-प्रदान (Radiation Exchange Between Black Bodies):

काले शरीरों के बीच विकिरण आदान-प्रदान इस प्रकार से होता है कि एक शरीर से उत्सर्जित विकिरण दूसरे शरीर द्वारा अवशोषित और पुनः उत्सर्जित होता है।

9. ग्रे-डिफ्यूस आइसोट्रॉपिक (GDI) सतह का सिद्धांत (Concept of Gray-Diffuse Isotropic Surface):

ग्रे-डिफ्यूस आइसोट्रॉपिक सतह वह सतह होती है जो विकिरण को सभी दिशाओं में समान रूप से उत्सर्जित और परावर्तित करती है, और इसकी उत्सर्जन क्षमता सभी तरंगों पर समान रहती है।

10. विकिरण आदान-प्रदान के लिए रेडियोसिटी नेटवर्क और मैट्रिक्स विधि (Radiation Exchange Between GDI Surfaces Using Radiation Network and Radiosity Matrix Method):

यह विधि सतहों के बीच विकिरण आदान-प्रदान की गणना करने के लिए प्रयोग की जाती है, जिसमें विकिरण नेटवर्क या रेडियोसिटी मैट्रिक्स के रूप में समाधान प्रस्तुत किया जाता है।

11. विकिरण सुरक्षा (Radiation Shielding):

विकिरण सुरक्षा वह सामग्री या संरचना होती है जो अत्यधिक विकिरण से सुरक्षा प्रदान करती है। यह विकिरण की तीव्रता को अवशोषित या परावर्तित करके कम कर देती है।

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UNIT-V: HEAT EXCHANGERS

Revision Notes

UNIT-V: HEAT EXCHANGERS

English Notes:

Introduction to Heat Exchangers:

A heat exchanger is a device that transfers heat between two or more fluids at different temperatures, without mixing them. They are used extensively in industries such as chemical, petrochemical, HVAC (Heating, Ventilation, and Air Conditioning), power plants, refrigeration, and many more.

The main purpose of a heat exchanger is to either heat or cool a fluid using another fluid at a different temperature. Heat exchangers come in a variety of forms and types, each suited for specific applications.

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1. Types of Heat Exchangers:

There are several types of heat exchangers, each designed for specific processes. Some of the most common types are:

• Shell and Tube Heat Exchanger: This is one of the most widely used types of heat exchangers, especially in the chemical and power industries. It consists of a series of tubes, one set carrying the hot fluid and the other carrying the cold fluid. The heat transfer occurs between the two fluids through the tube walls.

• Plate Heat Exchanger: This type consists of multiple thin, corrugated plates stacked together. The hot and cold fluids flow through alternate channels formed by the plates. This type is very efficient and is widely used in the food and beverage industries.

• Air Cooled Heat Exchanger: These are commonly used when water is not available or in locations where water usage is limited. They rely on air to cool the fluid instead of water.

• Double Pipe Heat Exchanger: This heat exchanger consists of two concentric pipes. One fluid flows through the inner pipe, and the other flows through the annular space between the two pipes. The heat transfer occurs through the pipe walls.

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2. Parallel Flow and Counterflow Heat Exchangers:

• Parallel Flow Heat Exchanger: In a parallel flow heat exchanger, both the hot and cold fluids move in the same direction. This setup is simpler but less efficient because the temperature difference between the two fluids decreases along the length of the heat exchanger, which reduces the heat transfer.

• Counterflow Heat Exchanger: In a counterflow heat exchanger, the hot and cold fluids move in opposite directions. This setup is more efficient because it maintains a higher temperature difference between the fluids along the entire length of the exchanger, resulting in better heat transfer.

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3. Logarithmic Mean Temperature Difference (LMTD):

The LMTD method is used to calculate the temperature difference between the hot and cold fluids at different points along the heat exchanger. The LMTD is particularly useful for heat exchangers with a constant flow rate of both fluids.

• LMTD Formula:

  $$\Delta T_m = \frac{(\Delta T_1 - \Delta T_2)}{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}$$

  Where:

  • $\Delta T_1$ = Temperature difference at one end (hot fluid temperature - cold fluid temperature)
  • $\Delta T_2$ = Temperature difference at the other end
  • $\Delta T_m$ = Logarithmic mean temperature difference

• Correction Factors: Sometimes, the LMTD formula is corrected using a correction factor to account for deviations from the ideal flow conditions (e.g., non-uniform flow or heat exchanger design).

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4. Fouling Factor:

• Fouling refers to the accumulation of unwanted materials (such as scale, dirt, or biological matter) on the heat exchanger surfaces. This accumulation reduces the heat transfer efficiency. The fouling factor is used to account for this loss in heat transfer effectiveness, and it is typically added to the thermal resistance of the heat exchanger.

  The fouling factor increases the resistance to heat transfer, and thus, the heat exchanger’s overall performance is impacted. It is important to regularly clean heat exchangers to maintain their efficiency.

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5. NTU (Number of Transfer Units) Method for Heat Exchangers:

The NTU method is an alternative approach for calculating heat exchanger performance, particularly when the heat exchanger design is more complex. It is based on the concept of "number of transfer units," which relates to the amount of heat that is transferred between the fluids.

• The NTU is a dimensionless quantity that depends on the heat exchanger type, flow arrangement, and heat capacity rates of the fluids.

  The heat exchanger effectiveness can be determined from the NTU by using specific equations based on the type of heat exchanger.

  For example, for a counterflow heat exchanger:

  $$\text{Effectiveness} = \frac{1 - \exp\left(-NTU(1-C_r)\right)}{1 - C_r \exp\left(-NTU(1-C_r)\right)}$$

  Where $C_r$ is the ratio of the heat capacity rates of the fluids.

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Hindi Notes:

हीट एक्सचेंजर्स (Heat Exchangers) का परिचय:

हीट एक्सचेंजर वह उपकरण होते हैं जो दो या दो से अधिक तरल पदार्थों के बीच बिना उन्हें मिलाए तापमान का आदान-प्रदान करते हैं। इनका उपयोग रासायनिक, पेट्रोकेमिकल, एचवीएसी (हीटिंग, वेंटिलेशन, और एयर कंडीशनिंग), पावर प्लांट, रेफ्रिजरेशन और कई अन्य उद्योगों में किया जाता है।

हीट एक्सचेंजर्स का मुख्य उद्देश्य किसी तरल पदार्थ को दूसरे के मुकाबले अधिक या कम तापमान पर लाना है। इनकी विभिन्न रूपों और प्रकारों में डिजाइन की जाती है जो विशेष उपयोगों के लिए उपयुक्त होती हैं।

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1. हीट एक्सचेंजर्स के प्रकार (Types of Heat Exchangers):

हीट एक्सचेंजर्स के कई प्रकार होते हैं, जो विभिन्न प्रक्रियाओं के लिए उपयुक्त होते हैं। प्रमुख प्रकार निम्नलिखित हैं:

• शेल और ट्यूब हीट एक्सचेंजर: यह एक सामान्य प्रकार है जो रासायनिक और पावर उद्योगों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसमें एक सेट ट्यूब्स होते हैं, जिनमें से एक में गर्म तरल और दूसरे में ठंडा तरल प्रवाहित होता है।

• प्लेट हीट एक्सचेंजर: इसमें कई पतली, घुमावदार प्लेटों का एक समूह होता है। गर्म और ठंडे तरल इन प्लेटों के बीच वैकल्पिक रूप से प्रवाहित होते हैं।

• एयर कूल्ड हीट एक्सचेंजर: जब पानी उपलब्ध नहीं होता या पानी का उपयोग सीमित होता है, तो इनका उपयोग किया जाता है। इनका कार्य वायु द्वारा तरल को ठंडा करना होता है।

• डबल पाइप हीट एक्सचेंजर: यह दो सघन पाइपों से बना होता है। एक तरल अंदर पाइप में और दूसरा बाहर पाइप के एन्नुलर स्थान में प्रवाहित होता है।

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2. पैरेलल फ्लो और काउंटरफ्लो हीट एक्सचेंजर्स (Parallel Flow and Counterflow Heat Exchangers):

• पैरेलल फ्लो हीट एक्सचेंजर (Parallel Flow Heat Exchanger): इस प्रकार के हीट एक्सचेंजर में गर्म और ठंडे तरल दोनों एक ही दिशा में प्रवाहित होते हैं। यह सरल होता है, लेकिन कम प्रभावी होता है क्योंकि तापमान अंतराल पूरी लंबाई में घटता जाता है।

• काउंटरफ्लो हीट एक्सचेंजर (Counterflow Heat Exchanger): इसमें गर्म और ठंडे तरल विपरीत दिशाओं में प्रवाहित होते हैं। यह अधिक प्रभावी होता है क्योंकि तापमान अंतराल अधिक रहता है, जिससे बेहतर तापांतरण होता है।

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3. लॉगैरीथमिक मीन तापमान अंतर (LMTD):

LMTD विधि का उपयोग हीट एक्सचेंजर में गर्म और ठंडे तरल के बीच तापमान अंतराल की गणना करने के लिए किया जाता है। यह विधि तब उपयोगी होती है जब दोनों तरल का प्रवाह दर स्थिर होता है।

• LMTD सूत्र:

  $$\Delta T_m = \frac{(\Delta T_1 - \Delta T_2)}{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}$$

  जहां:

  • $\Delta T_1$ = एक सिरे पर तापमान अंतराल (गर्म तरल तापमान - ठंडा तरल तापमान)
  • $\Delta T_2$ = दूसरे सिरे पर तापमान अंतराल
  • $\Delta T_m$ = लॉगैरीथमिक मीन तापमान अंतर

• सुधारात्मक गुणांक (Correction Factors): कभी-कभी, LMTD सूत्र को सुधारात्मक गुणांक के साथ संशोधित किया जाता है ताकि आदर्श प्रवाह स्थितियों से विचलन को ध्यान में रखा जा सके।

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4. फाउलिंग गुणांक (Fouling Factor):

फाउलिंग का मतलब है कि हीट एक्सचेंजर की सतह पर अवांछनीय पदार्थों का जमा होना, जैसे स्केल, गंदगी, या जैविक पदार्थ। यह जमा होने से हीट ट्रांसफर की क्षमता कम हो जाती है। फाउलिंग गुणांक का उपयोग इस नुकसान को ध्यान में रखते हुए हीट ट्रांसफर क्षमता का हिसाब करने में किया जाता है।

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5. NTU (नंबर ऑफ ट्रांसफर यूनिट्स) विधि:

NTU विधि का उपयोग जटिल हीट एक्सचेंजर डिजाइन में प्रदर्शन की गणना करने के लिए किया जाता है। यह "ट्रांसफर यूनिट्स की संख्या" की अवधारणा पर आधारित होती है, जो यह बताती है कि कितनी मात्रा में गर्मी तरल पदार्थों के बीच स्थानांतरित की जाती है।

• NTU एक आयामहीन गुणांक है जो हीट एक्सचेंजर के प्रकार, प्रवाह व्यवस्था, और तरल पदार्थों की हीट कैपेसिटी दर पर निर्भर करता है।

  उदाहरण के लिए, काउंटरफ्लो हीट एक्सचेंजर के लिए:

  $$\text{प्रभावशीलता} = \frac{1 - \exp\left(-NTU(1-C_r)\right)}{1 - C_r \exp\left(-NTU(1-C_r)\right)}$$

  जहां $C_r$ तरल पदार्थों की हीट कैपेसिटी दर का अनुपात है।