2. Design of Steel Beams (Limit State Method), Civil Engg 5th Semester Notes CE5001

 

2. Design of Steel Beams (Limit State Method)

2.1 Standard Beam Sections, Bending Stress Calculations:

Standard Beam Sections: Steel beams are structural elements used to resist bending under loads. There are various standard beam sections used for different applications. The commonly used beam sections include:

1. I-sections (I-beams):

   • I-sections are widely used in steel structures due to their efficient use of material. They consist of a central web and two flanges at the top and bottom.
   • These sections provide high bending resistance and are often used in large-span structures.

2. Channel Sections (C-sections):

   • These are U-shaped sections used in lighter structures or when a high strength-to-weight ratio is needed.
   • They are often used in bracing systems and for shorter spans.

3. T-sections:

   • T-sections are used when there is a need for greater strength in one direction, and they are particularly useful when supported at one end.

4. Rectangular Hollow Sections (RHS) and Circular Hollow Sections (CHS):

   • These hollow sections are often used in modern steel design due to their aesthetics, efficient use of material, and resistance to buckling.

Bending Stress Calculation: Bending stress ($\sigma_b$) in a beam can be calculated using the following formula:

$$\sigma_b = \frac{M}{S}$$

where:

• $\sigma_b$ = Bending stress
• $M$ = Bending moment at the section
• $S$ = Section modulus of the beam

For an I-section beam, the section modulus $S$ is given by:

$$S = \frac{b \cdot d^2}{6}$$

where:

• $b$ = Width of the flange
• $d$ = Depth of the beam (height of the I-section)

The bending stress must not exceed the material’s allowable bending stress, which is calculated based on the yield strength of the material.

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2.2 Design of Laterally Restrained Simple I-Section Beams:

In a simple I-section beam, lateral stability can be a concern, especially under large bending moments. A laterally restrained beam is a beam that is prevented from moving sideways or buckling laterally. These restraints can be provided by lateral bracing or stiffeners at intervals along the beam.

Steps in Designing Laterally Restrained Simple I-Section Beams:

1. Determine the Design Moment (M): First, calculate the maximum bending moment (M) the beam will experience under the applied loads.

2. Calculate the Section Modulus (S): The section modulus is calculated based on the dimensions of the I-beam.

3. Calculate Bending Stress: Using the formula $\sigma_b = \frac{M}{S}$, calculate the bending stress at the critical section of the beam.

4. Check for Buckling: For laterally restrained beams, buckling is not a major concern. However, it is important to ensure that the beam is not under excessive bending or shear forces.

5. Check for Deflection: The deflection of the beam should be within permissible limits as per IS 800 guidelines to ensure that it does not cause excessive deformation.

6. Design the Beam: Select an appropriate I-section based on the calculated bending stress and deflection limits. Ensure that the selected beam has a section modulus greater than or equal to the required value.

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2.3 Check for Shear and Deflection as per IS 800:

1. Shear Stress Check: Shear stress in a beam is caused by internal forces acting parallel to the cross-section of the beam. The shear stress $\tau$ can be calculated as:

   $$\tau = \frac{V}{A}$$

   where:

   • $V$ = Shear force at the section
   • $A$ = Cross-sectional area of the beam.

   According to IS 800, the shear stress must not exceed the permissible shear stress of the material. Additionally, for I-sections, shear is more concentrated near the web, and web thickness should be checked to prevent failure.

2. Deflection Check: Deflection is the displacement of the beam due to bending under loads. According to IS 800, the deflection of a beam should not exceed certain limits to ensure that it does not lead to functional or aesthetic issues in the structure.

   The permissible deflection for a beam is generally limited to:

   • $\delta_{max} = \frac{L}{250}$, where $L$ is the span of the beam.

   The deflection for a beam can be calculated using the formula:

   $$\delta = \frac{5 w L^4}{384 E I}$$

   where:

   • $w$ = Uniform load per unit length
   • $L$ = Span of the beam
   • $E$ = Modulus of elasticity of the material
   • $I$ = Moment of inertia of the cross-section.

   If the calculated deflection exceeds the permissible limit, a larger section may need to be selected, or additional bracing may be required.

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Hindi Notes:

2.1 मानक बीम श्रेणियाँ, मोड़ तनाव की गणना:

मानक बीम श्रेणियाँ: स्टील बीम संरचनात्मक तत्व होते हैं जो लोड के तहत मोड़ का प्रतिरोध करते हैं। विभिन्न प्रकार की मानक बीम श्रेणियाँ होती हैं, जो विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए उपयोग की जाती हैं:

1. I-सेक्शन (I-beams):

   • I-सेक्शन स्टील संरचनाओं में अत्यधिक प्रयुक्त होते हैं, क्योंकि ये सामग्री का कुशलता से उपयोग करते हैं और अधिक बेंडिंग प्रतिरोध प्रदान करते हैं।
   • इनका आकार वेब और दो फ्लेंज के संयोजन से होता है।

2. चैनल श्रेणी (C-sections):

   • चैनल श्रेणियाँ U आकार की होती हैं, जो हल्के संरचनाओं में उपयोग की जाती हैं और जब उच्च शक्ति-से-भार अनुपात की आवश्यकता होती है, तब इन्हें चुना जाता है।

3. टी-सेक्शन (T-sections):

   • यह T आकार की श्रेणी होती है, जो विशेष रूप से एक दिशा में अधिक ताकत की आवश्यकता होने पर उपयोग की जाती है।

4. होलो श्रेणियाँ (RHS/CHS):

   • गोलाकार या आयताकार होलो श्रेणियाँ आधुनिक स्टील डिज़ाइन में प्रयुक्त होती हैं क्योंकि यह सामग्री का कुशलतापूर्वक उपयोग करती हैं और बकलिंग के प्रतिरोध में बेहतर होती हैं।

मोड़ तनाव की गणना: बीम में मोड़ तनाव को निम्नलिखित सूत्र से गणना किया जा सकता है:

$$\sigma_b = \frac{M}{S}$$

जहां:

• $\sigma_b$ = मोड़ तनाव
• $M$ = बीम पर मोड़ (बेंडिंग मोमेंट)
• $S$ = बीम का सेक्शन मोडुलस

I-सेक्शन के लिए, सेक्शन मोडुलस $S$ की गणना इस प्रकार की जाती है:

$$S = \frac{b \cdot d^2}{6}$$

जहां:

• $b$ = फ्लैंग की चौड़ाई
• $d$ = बीम की गहराई

मोड़ तनाव सामग्री की अनुमति प्राप्त मोड़ तनाव से अधिक नहीं होना चाहिए, जो पदार्थ की यील्ड ताकत पर आधारित होती है।

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2.2 बाद की ओर स्थिर साधारण I-सेक्शन बीम का डिज़ाइन:

बाद की ओर स्थिर बीम वह होती है जो किसी प्रकार की स्थिरता के लिए लैटरल ब्रेसेस या स्टिफनर्स द्वारा संयमित की जाती है, ताकि वह मोड़ के कारण साइडवाइज मोशन या बकलिंग से बच सके।

डिज़ाइन प्रक्रिया:

1. डिज़ाइन मोमेंट (M) निर्धारित करें: सबसे पहले, उस मोड़ का निर्धारण करें जो बीम पर लागू लोड के तहत अधिकतम होगा।
2. सेक्शन मोडुलस (S) की गणना करें: I-सेक्शन के आयामों के आधार पर सेक्शन मोडुलस की गणना करें।
3. मोड़ तनाव की गणना: $\sigma_b = \frac{M}{S}$ सूत्र का उपयोग करके मोड़ तनाव की गणना करें।
4. बकलिंग की जांच: चूंकि बीम बाद की ओर स्थिर है, बकलिंग की चिंता कम होती है, लेकिन यह सुनिश्चित करें कि बीम पर अधिकतम मोड़ या शीयर बल न हो।
5. विकृति (Deflection) की जांच: विकृति IS 800 के निर्देशों के अनुसार अनुमत सीमा में होनी चाहिए।
6. बीम का डिज़ाइन करें: बीम का आकार और मोड़ तनाव की गणना के आधार पर उपयुक्त I-सेक्शन चुनें।

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2.3 IS 800 के अनुसार शीयर और विकृति की जांच:

1. शीयर तनाव की जांच: शीयर तनाव बीम के क्रॉस-सेक्शन पर समानांतर बलों के कारण उत्पन्न होता है। शीयर तनाव $\tau$ की गणना इस प्रकार की जाती है:

   $$\tau = \frac{V}{A}$$

   जहां:

   • $V$ = बीम पर शीयर बल
   • $A$ = बीम का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफल

   IS 800 के अनुसार, शीयर तनाव को सामग्री की अनुमत शीयर तनाव से अधिक नहीं होना चाहिए।

2. विकृति की जांच: विकृति वह विस्थापन है जो लोड के तहत बीम में उत्पन्न होती है। IS 800 के अनुसार, बीम की विकृति अनुमत सीमा से अधिक नहीं होनी चाहिए।

   अनुमत विकृति सामान्यत: निम्नलिखित सीमा तक होती है:

   $$\delta_{max} = \frac{L}{250}$$

   जहां $L$ बीम की स्पैन है।

   विकृति की गणना इस प्रकार की जाती है:

   $$\delta = \frac{5 w L^4}{384 E I}$$

   यदि गणना की गई विकृति अनुमत सीमा से अधिक है, तो बीम का आकार बढ़ाने या अतिरिक्त ब्रेसींग की आवश्यकता हो सकती है।