3. Fixed and Continuous Beams, Theory of Structures, CE 4003 (Same as CC 4003)

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Written by Garima Kanwar | Blog: Rajasthan Polytechnic

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Subject: Theory of Structures (CE 4003 Same as CC 4003)

Branch: Civil Engineering 🏗️
Semester: 4th Semester 📚

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3. Fixed और Continuous Beams

Fixed Beam वह बीम होती है जो दोनों छोरों पर जड़ी हुई होती है, यानी वह सपोर्ट पर घूम नहीं सकती। Continuous Beam वह बीम होती है जो दो से अधिक सपोर्ट्स पर खिंची जाती है (आमतौर पर तीन या अधिक), और इस पर मोमेंट्स और प्रतिक्रियाएं सभी सपोर्ट्स पर होती हैं।

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3.1 Fixity का अवधारणा और Fixity का प्रभाव 🔩

• Fixity का मतलब है कि बीम को उसके सपोर्ट्स पर मजबूती से पकड़ा गया है, और वह घूमेंगी नहीं। इस स्थिति में, shear force और bending moment सपोर्ट्स द्वारा रोका जाता है।
• Fixity का प्रभाव:
  • बीम के छोरों पर bending moment नहीं होता, क्योंकि fixity बीम को मोड़ने से रोकता है।
  • Fixity से बीम की स्थिरता बढ़ जाती है, और यह लोड का प्रतिरोध करने में सक्षम होती है।
  • Fixed बीम पर internal moments होते हैं जो बीम को बेंडिंग से बचाते हैं।

उदाहरण: यदि एक बीम दोनों छोरों पर जड़ी हुई हो और उसके बीच में एक लोड हो, तो सपोर्ट्स इस लोड के कारण बीम को बेंडिंग से बचाते हैं और छोरों पर मोमेंट्स उत्पन्न होते हैं (जबकि एक साधारण सपोर्टेड बीम में छोरों पर कोई मोमेंट नहीं होता)।

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3.2 Fixed Beam के मुकाबले Simply Supported Beam के लाभ और हानियां ⚖️

लाभ:

1. अधिक लोड वहन करने की क्षमता: Fixed बीम अधिक लोड वहन कर सकती है क्योंकि यह अधिक बेंडिंग के प्रतिरोधी होती है।
2. कम डिफ्लेक्शन: Fixed बीम की डिफ्लेक्शन कम होती है जब इसे समान लोड मिलता है।
3. सपोर्ट पर मोमेंट्स नहीं होते: Fixed बीम में सपोर्ट्स पर कोई मोमेंट नहीं होता क्योंकि फिक्स्ड छोर घुमने से रोकते हैं।

हानियां:

1. जटिल डिज़ाइन: Fixed बीम का डिज़ाइन और विश्लेषण अधिक जटिल होता है।
2. सामग्री का अधिक उपयोग: इसकी अधिक कठोरता और ताकत की जरूरत होती है, जिसके कारण अधिक सामग्री की आवश्यकता होती है।
3. मरम्मत में कठिनाई: Fixed बीम की मरम्मत या प्रतिस्थापन करना कठिन होता है क्योंकि सपोर्ट्स सख्त होते हैं।

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3.3 Principle of Superposition 🔀

Principle of Superposition कहता है कि यदि एक संरचना पर कई लोड्स लग रहे हैं, तो प्रत्येक लोड के कारण होने वाली प्रतिक्रिया (जैसे डिफ्लेक्शन, शेयऱ बल, और बेंडिंग मोमेंट) को अलग-अलग रूप से जोड़ा जा सकता है।

उदाहरण:

यदि एक Fixed बीम पर दो लोड लगते हैं, एक केंद्र में और दूसरा छोर पर, तो बीम पर डिफ्लेक्शन उन दोनों लोड्स के कारण होने वाली डिफ्लेक्शन का योग होगा।

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3.4 Fixed End Moments from First Principle for Beam Subjected to

जब एक Fixed बीम पर लोड्स लगाए जाते हैं, तो इसके छोरों पर मोमेंट्स उत्पन्न होते हैं, जिन्हें Fixed End Moments (FEM) कहा जाता है।

3.4.1 Point Load ⚡

• एक point load $P$ अगर बीम के केंद्र पर लगाया जाता है, तो बीम के दोनों छोरों पर fixed end moments उत्पन्न होते हैं।
• Fixed end moments:
  • बाएं सपोर्ट पर: $M_A = - \frac{P \cdot L}{4}$
  • दाएं सपोर्ट पर: $M_B = \frac{P \cdot L}{4}$

जहां:

• $L$ = बीम की लंबाई
• $P$ = लोड

आरेख:

  |           |       Load P
  |___________|__________|
  |     A     |     B    |
Fixed End Moment -M/4   +M/4

3.4.2 UDL over Entire Span 🔲

• जब Uniformly Distributed Load (UDL) $w$ पूरी लंबाई पर लगाई जाती है, तो fixed end moments उत्पन्न होते हैं।
• Fixed end moments:
  • बाएं सपोर्ट पर: $M_A = - \frac{w \cdot L^2}{12}$
  • दाएं सपोर्ट पर: $M_B = \frac{w \cdot L^2}{12}$

जहां:

• $w$ = प्रति इकाई लोड
• $L$ = बीम की लंबाई

आरेख:

  |           |      w (uniform load)
  |___________|__________|
  |     A     |     B    |
Fixed End Moment -wL^2/12  +wL^2/12

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3.5 Application of Standard Formulae for a Fixed Beam in Finding

3.5.1 End Moments 🛠️

मानक सूत्रों का उपयोग करके, हम विभिन्न लोड प्रकारों के लिए end moments आसानी से निकाल सकते हैं। एक point load या UDL के लिए बीम के छोरों पर मोमेंट्स पहले ही उल्लेख किए गए हैं।

3.5.2 End Reactions 🏋️‍♀️

Fixed बीम के लिए प्रतिक्रियाओं की गणना संतुलन समीकरणों का उपयोग करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए:

• यदि एक point load बीम के केंद्र पर हो, तो प्रतिक्रियाएं समान होंगी:

  • $R_A = R_B = \frac{P}{2}$

• यदि UDL हो, तो प्रतिक्रियाएं कुल लोड को 2 से विभाजित करके निकाली जा सकती हैं, क्योंकि यह समान रूप से वितरित लोड है:

  • $R_A = R_B = \frac{wL}{2}$

3.5.3 Drawing S.F. और B.M. Diagrams 📐

Shear Force Diagram (SFD) और Bending Moment Diagram (BMD) खींचने के लिए:

• SFD: जब UDL हो, तो shear force रेखीय रूप से बदलता है और point load पर यह स्थिर रहता है।
• BMD: Bending Moment के आरेख में point load या UDL के लिए केंद्र में अधिकतम मोमेंट होता है।

उदाहरण: यदि एक Fixed बीम पर point load केंद्र में हो, तो SFD समान रहता है और BMD का आकार पैराबोलिक होता है जिसमें केंद्र में अधिकतम मोमेंट होता है।

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3.6 Definition, Effect of Continuity, Nature of Moments Induced Due to Continuity, Concept of Deflected Shape, Practical Examples 🌍

Continuity की परिभाषा:

• Continuity का मतलब है कि बीम को दो से अधिक सपोर्ट्स पर रखा गया है। उदाहरण के लिए, Continuous Beam कम से कम तीन सपोर्ट्स पर रखी जाती है और इसके सभी सपोर्ट्स पर मोमेंट्स और प्रतिक्रियाएं होती हैं।

Continuity का प्रभाव:

• Continuous Beams अधिक बेंडिंग का प्रतिरोध करती हैं और उनकी डिफ्लेक्शन कम होती है।
• Bending Moments कई सपोर्ट्स पर वितरित होते हैं, जिससे किसी एक सपोर्ट पर अधिकतम मोमेंट कम हो जाता है।

Continuity के कारण उत्पन्न Moments का स्वभाव:

• Continuous बीम में सपोर्ट्स पर मोमेंट्स उत्पन्न होते हैं, और ये मोमेंट्स बीम के प्रत्येक जोड़ से प्रभावित होते हैं।
• Fixed end moments हर सपोर्ट पर निर्भर करते हैं, जो पूरे बीम के इंटरएक्शन से उत्पन्न होते हैं।

Deflected Shape का अवधारणा:

• Deflected Shape वह वक्र होता है जो यह दिखाता है कि बीम लोड के तहत किस प्रकार बदलती है। Fixed और Continuous बीमों में कम डिफ्लेक्शन होती है, क्योंकि उनके पास कई सपोर्ट्स होते हैं।
• Deflected Shape Continuous बीम में कम झुकता है जबकि Simply Supported बीम में अधिक झुकता है।

Practical Examples:

• Fixed Beam Example: एक पुल जिसे दोनों छोरों पर फिक्स्ड सपोर्ट्स के साथ डिजाइन किया गया है।
• Continuous Beam Example: एक हाईवे ब्रिज जो तीन या अधिक सपोर्ट्स पर खिंचा होता है।

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संशोधन बिंदु 📝

1. Fixed Beams में दोनों छोरों पर fixed end moments होते हैं।
2. Continuity का मतलब है कि बीम दो से अधिक सपोर्ट्स से जुड़ी होती है, जिससे लोड बेहतर ढंग से वितरित होता है और बेंडिंग मोमेंट कम होता है।
3. Principle of Superposition से यह समझा जा सकता है कि कई लोड्स की प्रतिक्रिया को अलग-अलग जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है।
4. End Moments और Reactions Fixed बीम के लिए विशिष्ट सूत्रों से आसानी से निकाले जा सकते हैं।
5. Shear Force और Bending Moment Diagrams यह बताते हैं कि बीम लोड के तहत कैसे व्यवहार करेगी और यह डिज़ाइन में मदद करता है।
6. Continuity बीम की ताकत बढ़ाती है और डिफ्लेक्शन को कम करती है, जिसे मल्टी-स्पैन पुलों में इस्तेमाल किया जाता है।

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प्रश्न और उत्तर उदाहरण ❓

1. Q: Fixity का बीम पर क्या प्रभाव होता है?

   • A: Fixity से बीम के छोरों पर fixed end moments उत्पन्न होते हैं, डिफ्लेक्शन कम होती है, और लोड का प्रतिरोध बढ़ता है।

2. Q: Fixed बीम पर एकल point load के लिए end moments कैसे निकालते हैं?

   • A: Fixed end moments $M_A = - \frac{P \cdot L}{4}$ और $M_B = \frac{P \cdot L}{4}$ होते हैं, जहां $P$ लोड और $L$ बीम की लंबाई है।

3. Q: Continuous बीम में बेंडिंग मोमेंट कैसे होता है?

• A: Continuous बीम में बेंडिंग मोमेंट्स सपोर्ट्स पर वितरित होते हैं, जिससे किसी एक सपोर्ट पर अधिकतम मोमेंट कम हो जाता है।

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