Moment of Inertia, CE 3003 notes in Hindi, Mechanics of Materials notes in Hindi

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यूनिट 1: मोमेंट ऑफ इनर्शिया (Moment of Inertia)

1.1 मोमेंट ऑफ इनर्शिया (M.I.):

1.1.1 परिभाषा (Definition)

मोमेंट ऑफ इनर्शिया (Moment of Inertia) किसी शरीर के किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए प्रतिरोधक क्षमता को मापने वाली भौतिक राशि है। यह वस्तु के द्रव्यमान और उस द्रव्यमान के अक्ष से दूरी के आधार पर निर्भर करता है।

इसे निम्नलिखित सूत्र से व्यक्त किया जाता है:

$$I = \sum m_i \cdot r_i^2$$

जहां:

• $I$ = मोमेंट ऑफ इनर्शिया
• $m_i$ = द्रव्यमान (mass) का प्रत्येक छोटा भाग
• $r_i$ = उस द्रव्यमान का अक्ष से दूरी

मोमेंट ऑफ इनर्शिया की इकाई $\text{kg} \cdot \text{m}^2$ होती है।

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1.1.2 मोमेंट ऑफ इनर्शिया का शरीर के विभिन्न आकारों के लिए गणना (Moment of Inertia of Plane Lamina):

विभिन्न प्रकार की लमिना (प्लेन शरीर) के लिए मोमेंट ऑफ इनर्शिया की गणना की जाती है। कुछ सामान्य रूप से ज्ञात रूपों में मोमेंट ऑफ इनर्शिया निम्नलिखित होते हैं:

• आयत (Rectangle):
  आयत के बारे में मोमेंट ऑफ इनर्शिया, जहां $b$ चौड़ाई और $h$ ऊंचाई है:

  $$I = \frac{1}{12} \cdot b \cdot h^3$$

• वृत्त (Circle):
  वृत्त के बारे में मोमेंट ऑफ इनर्शिया, जहां $r$ त्रिज्या है:

  $$I = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot r^4$$

• सेमी-सर्कल (Semi-Circle):
  सेमी-सर्कल के बारे में मोमेंट ऑफ इनर्शिया, जहां $r$ त्रिज्या है:

  $$I = \frac{1}{8} \cdot \pi \cdot r^4$$

• त्रिकोण (Triangle):
  त्रिकोण के बारे में मोमेंट ऑफ इनर्शिया, जहां $b$ आधार और $h$ ऊंचाई है:

  $$I = \frac{1}{36} \cdot b \cdot h^3$$

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1.1.3 रेडियस ऑफ गाइरेक्शन (Radius of Gyration):

रेडियस ऑफ गाइरेक्शन (Radius of Gyration) एक अवधारणा है, जो किसी शरीर के मोमेंट ऑफ इनर्शिया और उसके द्रव्यमान से जुड़ी होती है। यह शरीर के घूर्णन के प्रतिरोध को उस शरीर के द्रव्यमान के एक समान बिंदु पर स्थित मानक दूरी के रूप में दिखाता है। इसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:

$$k = \sqrt{\frac{I}{m}}$$

जहां:

• $k$ = रेडियस ऑफ गाइरेक्शन
• $I$ = मोमेंट ऑफ इनर्शिया
• $m$ = द्रव्यमान

यह दूरी तब उपयोगी होती है जब शरीर के घूर्णन के प्रभावों का मूल्यांकन करना होता है।

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1.1.4 सेक्शन मॉड्यूलस (Section Modulus):

सेक्शन मॉड्यूलस (Section Modulus) किसी क्रॉस-सेक्शन का एक ज्यामितीय गुणांक है, जो बेंडिंग तनाव के लिए महत्वपूर्ण है। यह किसी दिए गए मोमेंट ऑफ इनर्शिया और उस क्रॉस-सेक्शन की अधिकतम दूरी से संबंधित होता है:

$$Z = \frac{I}{y}$$

जहां:

• $Z$ = सेक्शन मॉड्यूलस
• $I$ = मोमेंट ऑफ इनर्शिया
• $y$ = अधिकतम दूरी (क्रॉस-सेक्शन के तंतू से)

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1.1.5 पैरेलल और पर्पेंडिकुलर एक्सिस थ्योरम (Parallel and Perpendicular Axes Theorems):

1. पैरेलल एक्सिस थ्योरम (Parallel Axis Theorem):
   यह थ्योरम यह बताता है कि किसी शरीर का मोमेंट ऑफ इनर्शिया उस शरीर के एक ऐसे अक्ष के चारों ओर मोमेंट ऑफ इनर्शिया के बराबर होता है, जो शरीर के केंद्र से समानांतर होता है, यदि उस अक्ष के लिए मोमेंट ऑफ इनर्शिया ज्ञात हो। इसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:

   $$I = I_{\text{centroid}} + m \cdot d^2$$

   जहां:

   • $I$ = मोमेंट ऑफ इनर्शिया
   • $I_{\text{centroid}}$ = केंद्र के चारों ओर मोमेंट ऑफ इनर्शिया
   • $m$ = द्रव्यमान
   • $d$ = केंद्र से अक्ष की दूरी

2. पर्पेंडिकुलर एक्सिस थ्योरम (Perpendicular Axis Theorem):
   यह थ्योरम यह बताता है कि एक समतल शरीर का मोमेंट ऑफ इनर्शिया उस शरीर के दो पर्पेंडिकुलर एक्सिस के चारों ओर मोमेंट ऑफ इनर्शिया के योग के बराबर होता है। इसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:

   $$I_z = I_x + I_y$$

   जहां:

   • $I_z$ = शरीर के ज़ अक्ष के चारों ओर मोमेंट ऑफ इनर्शिया
   • $I_x$ = $x$ अक्ष के चारों ओर मोमेंट ऑफ इनर्शिया
   • $I_y$ = $y$ अक्ष के चारों ओर मोमेंट ऑफ इनर्शिया

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1.1.6 मोमेंट ऑफ इनर्शिया के लिए कुछ सामान्य क्रॉस-सेक्शनल आकारों के उदाहरण (Moment of Inertia of Rectangle, Square, Circle, Semi-Circle, Quarter Circle and Triangle Section):

यहां कुछ सामान्य क्रॉस-सेक्शनल आकारों के लिए मोमेंट ऑफ इनर्शिया दिए गए हैं:

1. आयत (Rectangle):
   जब आयत को $x$-अक्ष के चारों ओर मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकाला जाता है, जहां $b$ आयत की चौड़ाई और $h$ उसकी ऊंचाई है:

   $$I = \frac{1}{12} \cdot b \cdot h^3$$

2. वर्ग (Square):
   वर्ग का मोमेंट ऑफ इनर्शिया $a$ पक्ष की लंबाई के लिए:

   $$I = \frac{a^4}{12}$$

3. वृत्त (Circle):
   वृत्त का मोमेंट ऑफ इनर्शिया $r$ त्रिज्या के लिए:

   $$I = \frac{\pi r^4}{4}$$

4. सेमी-सर्कल (Semi-Circle):
   सेमी-सर्कल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया $r$ त्रिज्या के लिए:

   $$I = \frac{\pi r^4}{8}$$

5. चतुर्थांश वृत्त (Quarter Circle):
   चतुर्थांश वृत्त का मोमेंट ऑफ इनर्शिया $r$ त्रिज्या के लिए:

   $$I = \frac{\pi r^4}{16}$$

6. त्रिकोण (Triangle):
   त्रिकोण का मोमेंट ऑफ इनर्शिया $b$ आधार और $h$ ऊंचाई के लिए:

   $$I = \frac{b \cdot h^3}{36}$$

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1.2 विभिन्न प्रकार के असममित और सममित क्रॉस-सेक्शन्स के लिए मोमेंट ऑफ इनर्शिया (Moment of Inertia of Symmetrical and Unsymmetrical I-Section, Channel Section, T-Section, etc.)

यहां पर कुछ सामान्य असममित और सममित क्रॉस-सेक्शन के लिए मोमेंट ऑफ इनर्शिया पर विचार किया गया है:

1. I-सेक्शन (I-section):
   I-सेक्शन का मोमेंट ऑफ इनर्शिया उसके फ्लैंज और वेब के मोमेंट ऑफ इनर्शिया का योग होता है। इसका सामान्य रूप से निम्नलिखित रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है:

   $$I = I_{\text{flange}} + I_{\text{web}}$$

2. चैनल सेक्शन (Channel Section):
   चैनल सेक्शन के लिए भी मोमेंट ऑफ इनर्शिया की गणना फ्लैंज और वेब के लिए अलग-अलग की जाती है।

3. टी-सेक्शन (T-Section):
   टी-सेक्शन के लिए मोमेंट ऑफ इनर्शिया का निर्धारण उसके ऊपरी फ्लैंज और निचले वेब के संयोजन से किया जाता है।

4. एंगल सेक्शन (Angle Section):
   कोणीय सेक्शन के लिए मोमेंट ऑफ इनर्शिया को उस कोण के अक्ष पर आधारित गणना की जाती है।

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1.3 पोलर मोमेंट ऑफ इनर्शिया (Polar Moment of Inertia of Solid Circular Sections)

पोलर मोमेंट ऑफ इनर्शिया (Polar Moment of Inertia) एक विशेष प्रकार का मोमेंट ऑफ इनर्शिया होता है जो केवल सर्कुलर या गोलाकार शरीर के लिए लागू होता है। यह शरीर के केंद्र के चारों ओर घूर्णन के लिए प्रतिरोधक क्षमता को मापता है। इसके लिए सूत्र है:

$$J = \frac{\pi r^4}{2}$$

यह सूत्र केवल पूर्ण वृत्त के लिए लागू होता है, जहां $r$ उसकी त्रिज्या है।

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सारांश:

• मोमेंट ऑफ इनर्शिया किसी शरीर के घूर्णन के प्रतिरोधक क्षमता को मापता है और यह शरीर के द्रव्यमान और उसके अक्ष से दूरी पर निर्भर करता है।
• विभिन्न प्रकार के क्रॉस-सेक्शन के लिए मोमेंट ऑफ इनर्शिया की अलग-अलग गणना की जाती है।
• पैरेलल एक्सिस थ्योरम और पर्पेंडिकुलर एक्सिस थ्योरम मोमेंट ऑफ इनर्शिया की गणना में सहायक होते हैं।
• रेडियस ऑफ गाइरेक्शन और सेक्शन मॉड्यूलस जैसी अवधारणाएं बीम के घूर्णन और बेंडिंग के विश्लेषण में महत्वपूर्ण होती हैं।