Bending and Shear Stresses in Beams, CE 3003 notes in Hindi, Mechanics of Materials notes in Hindi

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4. बीमों में बेंडिंग और शियर स्ट्रेसेस (Bending and Shear Stresses in Beams)

4.1 शुद्ध बेंडिंग का सिद्धांत, अनुमान, फ्लेक्स्युरल समीकरण (Bending Equation), बेंडिंग स्ट्रेसेस और उनकी प्रकृति, बेंडिंग स्ट्रेस वितरण आरेख

शुद्ध बेंडिंग (Pure Bending):

शुद्ध बेंडिंग तब होता है जब बीम पर केवल मोमेंट (Bending Moment) लागू होता है और अन्य बल (जैसे शियर फोर्स) का प्रभाव नगण्य होता है। इस स्थिति में, बीम के सभी बिंदुओं पर बेंडिंग मोमेंट समान होता है और केवल बेंडिंग तनाव उत्पन्न होते हैं।

फ्लेक्स्युरल समीकरण (Bending Equation):

बीम में बेंडिंग स्ट्रेसेस (Bending Stresses) के निर्धारण के लिए फ्लेक्स्युरल समीकरण (Flexural Equation) का उपयोग किया जाता है, जिसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:

$$\frac{M}{I} = \frac{\sigma}{y} = \frac{E}{R}$$

जहां:

• $M$ = बेंडिंग मोमेंट (Bending Moment) (N·m)
• $I$ = बीम की क्रॉस-सेक्शन का मोमेंट ऑफ इनर्शिया (Moment of Inertia) (m⁴)
• $\sigma$ = बेंडिंग स्ट्रेस (Bending Stress) (N/m²)
• $y$ = क्रॉस-सेक्शन के केंद्र से बीम की बाहरी सतह तक की दूरी (m)
• $E$ = यंग्स माड्यूलस (Modulus of Elasticity) (N/m²)
• $R$ = बीम की वक्रता की त्रिज्या (Radius of Curvature) (m)

इस समीकरण के अनुसार, बीम पर बेंडिंग तनाव बीम की मोमेंट ऑफ इनर्शिया, बेंडिंग मोमेंट और बीम के क्रॉस-सेक्शन के आकार पर निर्भर करते हैं।

बेंडिंग स्ट्रेसेस (Bending Stresses) और उनकी प्रकृति:

• बेंडिंग तनाव बीम के क्रॉस-सेक्शन के विभिन्न बिंदुओं पर उत्पन्न होते हैं। यह तनाव बीम की ऊपरी और निचली सतहों पर अधिकतम होते हैं।
• बीम के केंद्र में, बेंडिंग तनाव शून्य होते हैं। उच्चतम बेंडिंग तनाव बीम की ऊपरी और निचली सतहों पर होते हैं।
• बेंडिंग तनाव का वितरण आरेख (Bending Stress Distribution Diagram) त्रिकोणीय (Triangular) होता है, और इसके अधिकतम मान को बेंडिंग मोमेंट के साथ संबंधित किया जाता है।

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4.2 मोमेंट ऑफ रेजिस्टेंस (Moment of Resistance) और फ्लेक्स्युरल समीकरण का उपयोग करके सरल संख्यात्मक समस्याएं

मोमेंट ऑफ रेजिस्टेंस (Moment of Resistance):

मोमेंट ऑफ रेजिस्टेंस वह मोमेंट होता है जिसे बीम अपने क्रॉस-सेक्शन पर उत्पन्न बेंडिंग स्ट्रेसेस से प्रतिरोधित करता है। यह बीम की स्थायित्व और बेंडिंग क्षमताओं को निर्धारित करता है।

मोमेंट ऑफ रेजिस्टेंस का समीकरण:

$$M_{r} = \sigma_{max} \times S$$

जहां:

• $M_r$ = मोमेंट ऑफ रेजिस्टेंस (N·m)
• $\sigma_{max}$ = अधिकतम बेंडिंग स्ट्रेस (N/m²)
• $S$ = बीम का सेक्शन मोड्युलस (Section Modulus) (m³)

इस समीकरण के द्वारा, हम यह देख सकते हैं कि बीम की स्थायित्व क्षमता उस पर उत्पन्न बेंडिंग स्ट्रेसेस और बीम के आकार (आवश्यक मोमेंट ऑफ रेजिस्टेंस) पर निर्भर करती है।

सरल संख्यात्मक समस्याएं:

फ्लेक्स्युरल समीकरण का उपयोग करके बेंडिंग स्ट्रेसेस और मोमेंट ऑफ रेजिस्टेंस की गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए:

• यदि किसी बीम पर बेंडिंग मोमेंट $M$ और बीम के क्रॉस-सेक्शन का मोमेंट ऑफ इनर्शिया $I$ दिया जाता है, तो बेंडिंग स्ट्रेस $\sigma$ की गणना की जा सकती है।

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4.3 शियर स्ट्रेस समीकरण (Shear Stress Equation) (बिना प्रमेय के)

शियर स्ट्रेस बीम पर तब उत्पन्न होता है जब बीम पर शियर फोर्स (Shear Force) लागू होता है। शियर स्ट्रेस का समीकरण निम्नलिखित होता है:

$$\tau = \frac{VQ}{Ib}$$

जहां:

• $\tau$ = शियर स्ट्रेस (Shear Stress) (N/m²)
• $V$ = शियर फोर्स (Shear Force) (N)
• $Q$ = क्रॉस-सेक्शन के उस क्षेत्र का पहला मोमेंट जो स्ट्रेस क्यूब से ऊपर है (First Moment of Area)
• $I$ = बीम के क्रॉस-सेक्शन का मोमेंट ऑफ इनर्शिया (Moment of Inertia)
• $b$ = क्रॉस-सेक्शन की चौड़ाई (Width of the Beam at the Shear Force Location)

शियर स्ट्रेस का वितरण बीम की ऊपरी और निचली सतहों पर अधिकतम होता है और बीम के केंद्र में न्यूनतम। यह समीकरण विशेष रूप से उपयोगी है जब बीम के क्रॉस-सेक्शन का आकार बदलता है।

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4.4 वर्गाकार और गोलाकार क्रॉस-सेक्शन के लिए अधिकतम और औसत शियर स्ट्रेस के बीच संबंध

वर्गाकार क्रॉस-सेक्शन (Rectangular Section):

वर्गाकार क्रॉस-सेक्शन के लिए अधिकतम शियर स्ट्रेस $\tau_{max}$ और औसत शियर स्ट्रेस $\tau_{avg}$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:

$$\tau_{max} = 1.5 \times \tau_{avg}$$

यहां $\tau_{avg}$ वह औसत शियर स्ट्रेस होता है जो बीम के पूरे क्रॉस-सेक्शन पर फैलता है।

गोलाकार क्रॉस-सेक्शन (Circular Section):

गोलाकार क्रॉस-सेक्शन के लिए अधिकतम शियर स्ट्रेस $\tau_{max}$ और औसत शियर स्ट्रेस $\tau_{avg}$ के बीच का संबंध इस प्रकार होता है:

$$\tau_{max} = 4 \times \tau_{avg}$$

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4.5 शियर स्ट्रेस वितरण आरेख (Shear Stress Distribution Diagram)

शियर स्ट्रेस का वितरण बीम की क्रॉस-सेक्शन के आधार पर बदलता है। उदाहरण के लिए:

• वर्गाकार क्रॉस-सेक्शन में शियर स्ट्रेस अधिकतम बीम की ऊपरी और निचली सतहों पर होता है और केंद्र की ओर जाते हुए घटता जाता है।
• गोलाकार क्रॉस-सेक्शन में भी शियर स्ट्रेस अधिकतम बीम के बाहरी सतहों पर होता है और केंद्र की ओर घटता है, लेकिन इसके वितरण का रूप अलग होता है।

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4.6 शियर स्ट्रेस वितरण विभिन्न क्रॉस-सेक्शनल आकारों के लिए

1. वर्गाकार और आयताकार क्रॉस-सेक्शन (Rectangular and Square Sections):

   • इन आकारों में शियर स्ट्रेस की अधिकतम मात्रा बीम के केंद्र में होती है।
   • शियर स्ट्रेस वितरण त्रिकोणीय होता है।

2. गोलाकार क्रॉस-सेक्शन (Circular Section):

   • गोलाकार बीमों में शियर स्ट्रेस का वितरण त्रिकोणीय होता है, लेकिन इसकी अधिकतम मात्रा बीम के बाहरी सतहों पर होती है।

3. होलोव क्रॉस-सेक्शन (Hollow Sections):

   • इन बीमों में शियर स्ट्रेस अधिकतम बाहरी सतहों पर होता है और अंदर की तरफ घटता जाता है।

4. एंगल, चैनल, और I-सेक्शन:

   • इन विशेष आकारों में शियर स्ट्रेस का वितरण बीम के आकार के आधार पर अलग-अलग होता है।

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4.7 शियर समीकरण पर आधारित सरल संख्यात्मक समस्याएं

इन समीकरणों का उपयोग करके विभिन्न प्रकार के बीमों में शियर स्ट्रेसेस की गणना की जा सकती है। जैसे:

• किसी बीम पर शियर फोर्स $V$ और क्रॉस-सेक्शन का मोमेंट ऑफ इनर्शिया $I$ दिया जाए, तो शियर स्ट्रेस $\tau$ की गणना की जा सकती है।