1. Direct and Bending Stresses in Vertical Members, Theory of Structures, CE 4003 (Same as CC 4003)

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Written by Garima Kanwar | Blog: Rajasthan Polytechnic

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Subject: Theory of Structures (CE 4003 Same as CC 4003)

Branch: Civil Engineering 🏗️
Semester: 4th Semester 📚

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1. ऊर्ध्वाधर सदस्यों में प्रत्यक्ष और बेंडिंग तनाव

जब ऊर्ध्वाधर सदस्य जैसे कॉलम या शाफ्टों पर लोड लगते हैं, तो वे प्रत्यक्ष तनाव (आक्षिक तनाव) और बेंडिंग तनाव दोनों का अनुभव करते हैं। आइए हम इन अवधारणाओं को चरण दर चरण समझें:

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1.1 आक्षिक और विषम लोड का परिचय

• आक्षिक लोड: एक लोड जो ऊर्ध्वाधर सदस्य की धुरी के साथ लगता है। यह सदस्य की लंबाई के साथ प्रत्यक्ष तनाव (संपीड़न या तनाव) उत्पन्न करता है। आक्षिक तनाव की गणना करने का सूत्र है:

  $$\sigma = \frac{P}{A}$$

  जहाँ:

  • $P$ = लागू लोड
  • $A$ = सदस्य का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफल

• विषम लोड: एक लोड जो केंद्र से बाहर या धुरी से कुछ दूरी पर लगता है। यह न केवल प्रत्यक्ष तनाव उत्पन्न करता है, बल्कि एक बेंडिंग मोमेंट भी उत्पन्न करता है, जो बेंडिंग तनाव का कारण बनता है। बेंडिंग तनाव की गणना का सूत्र है:

  $$\sigma_{\text{bending}} = \frac{M}{I} \cdot y$$
  

  जहाँ:

  • $M$ = विषमता के कारण उत्पन्न होने वाला बेंडिंग मोमेंट
  • $I$ = क्रॉस-सेक्शन का मोमेंट ऑफ इनर्शिया
  • $y$ = न्यूट्रल धुरी से दूरी

उदाहरण: यदि आप एक कॉलम के शीर्ष पर एक ऊर्ध्वाधर लोड लगाते हैं, तो यह प्रत्यक्ष तनाव और बेंडिंग तनाव दोनों का कारण बनेगा, क्योंकि लोड की विषमता होगी।

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1.2 एक प्रमुख धुरी के बारे में विषमता

इस स्थिति में, लोड केवल एक प्रमुख धुरी के बारे में विषम होता है, चाहे वह x-धुरी हो या y-धुरी, और न कि दोनों। यह एक बेंडिंग मोमेंट उत्पन्न करता है, जो क्रॉस-सेक्शन में तनाव वितरण को प्रभावित करता है।

1.2.1 तनावों का स्वभाव

• तनाव पूरे क्रॉस-सेक्शन में समान नहीं होता।
• लोड की धुरी पर, केवल आक्षिक तनाव होता है।
• लोड की धुरी से दूर, बेंडिंग तनाव उत्पन्न होते हैं, जिससे एक ओर तनाव (सघन) और दूसरी ओर तनाव (विरुद्ध) उत्पन्न होता है।

चित्र:
मान लीजिए कि एक ऊर्ध्वाधर सदस्य पर विषम लोड लागू किया गया है:

     |      |  लोड (P)
     |      |
----------------------
        न्यूट्रल धुरी

उपरोक्त चित्र में, लोड केंद्र से बाहर लागू किया गया है, जिससे प्रत्यक्ष और बेंडिंग दोनों तनाव उत्पन्न होते हैं।

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1.2.2 अधिकतम और न्यूनतम तनाव

• अधिकतम तनाव: यह न्यूट्रल धुरी से सबसे दूर के बिंदु पर होता है (अत्यधिक तंतुओं पर)। इसमें आक्षिक तनाव और बेंडिंग तनाव दोनों का योग होता है।
• न्यूनतम तनाव: यह न्यूट्रल धुरी पर होता है जहाँ बेंडिंग तनाव शून्य होता है, लेकिन आक्षिक तनाव अभी भी मौजूद होता है।

एक आयताकार क्रॉस-सेक्शन के लिए, शीर्ष और निचले हिस्से पर अधिकतम और न्यूनतम तनाव होंगे:

$$\sigma_{\text{max}} = \sigma_{\text{axial}} \pm \sigma_{\text{bending}}$$ $$\sigma_{\text{min}} = \sigma_{\text{axial}} \mp \sigma_{\text{bending}}$$

जहाँ:

• $\sigma_{\text{axial}}$ = प्रत्यक्ष आक्षिक तनाव
• $\sigma_{\text{bending}}$ = बेंडिंग तनाव

उदाहरण: यदि एक ऊर्ध्वाधर लोड केंद्र से बाहर लागू किया जाता है, तो सदस्य के शीर्ष पर संपीड़न होगा और निचले हिस्से पर तनाव होगा।

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1.2.3 परिणामस्वरूप तनाव और वितरण आरेख

• परिणामस्वरूप तनाव: क्रॉस-सेक्शन के किसी भी बिंदु पर कुल तनाव आक्षिक और बेंडिंग तनाव का संयोजन होता है।
• तनाव वितरण आरेख: पूरे क्रॉस-सेक्शन में तनाव वितरण समान नहीं होता है, और अधिकतम संपीड़न तनाव एक ओर और अधिकतम तनाव दूसरी ओर होता है।

परिणामस्वरूप तनाव वितरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

      तनाव |                       | संपीड़न
               |      _______________  |
               |     |                 |    
               |     |                 |
               |     |                 |

उदाहरण: विषम लोड के कारण कॉलम के शीर्ष पर संपीड़न तनाव और निचले हिस्से पर तनाव होगा।

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1.2.4 अत्यधिक तंतुओं पर तनाव शून्य होने की शर्त

अत्यधिक तंतुओं पर तनाव को शून्य करने के लिए, विषमता को नियंत्रित किया जाना चाहिए। एक शर्त होती है जब अत्यधिक तंतु पर परिणामस्वरूप तनाव शून्य होता है (न तो संपीड़न और न ही तनाव)। यह शर्त तब होती है जब:

$$e = \frac{M}{P}$$

जहाँ:

• $e$ = विषमता (कॉलम के केंद्र से लोड के क्रिया रेखा तक की दूरी)
• $M$ = विषम लोड के कारण उत्पन्न होने वाला मोमेंट
• $P$ = आक्षिक लोड

अत्यधिक तंतुओं पर तनाव शून्य करने के लिए, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि लागू लोड अत्यधिक बेंडिंग का कारण न बने।

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1.2.5 विषमता की सीमा

एक ऊर्ध्वाधर सदस्य के लिए एक सीमा होती है, जिस पर विषमता अधिक हो जाने पर यह अत्यधिक बेंडिंग और अस्थिरता का कारण बन सकती है। कॉलम की विषमता की सीमा को लंबाई और क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफल द्वारा नियंत्रित किया जाता है।

• विषमता की सीमा आमतौर पर कॉलम की लंबाई और क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफल से निर्धारित की जाती है।
• यदि $e$ इस सीमा को पार कर जाता है, तो यह अत्यधिक बेंडिंग या अस्थिरता के कारण विफलता का कारण बन सकता है।

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1.2.6 आयताकार और गोलाकार क्रॉस-सेक्शन के लिए क्षेत्र का कोर

• क्षेत्र का कोर: यह वह क्षेत्र है जहाँ लोड को लागू किया जाना चाहिए ताकि कोई तनाव उत्पन्न न हो।

  • आयताकार क्षेत्र के लिए, कोर वह क्षेत्र होता है जहाँ केंद्रित लोड को लागू किया जा सकता है, जिससे तनाव उत्पन्न नहीं होता।
  • गोलाकार क्षेत्र के लिए, कोर एक छोटे सर्कल के रूप में होता है जो न्यूट्रल धुरी के केंद्र में स्थित होता है।

• आयताकार क्षेत्र के लिए कोर: कोर आयत के भीतर वह क्षेत्र होता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि बाहरी तंतु पर तनाव नहीं आएगा।

• गोलाकार क्षेत्र के लिए कोर: गोलाकार क्षेत्र में कोर वह केंद्रित क्षेत्र होता है, जहाँ लोड को लागू किया जाना चाहिए।

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1.2.7 मध्य तृतीयक नियम

मध्य तृतीयक नियम कहता है कि आयताकार क्रॉस-सेक्शनों के लिए, यदि लोड को मध्य तृतीयक में लागू किया जाता है, तो क्षेत्र का कोई भी हिस्सा तनाव का अनुभव नहीं करेगा। यह नियम सुनिश्चित करता है कि तनाव को टालने के लिए लोड का वितरण सुरक्षित हो।

आयताकार क्षेत्र के लिए:

• मध्य तृतीयक वह केंद्रीय क्षेत्र होता है जहाँ लोड लागू करना चाहिए, ताकि तनाव उत्पन्न न हो।

चित्र:

 ------------------------------
|             मध्य तृतीयक      |
 ------------------------------

यह मध्य तृतीयक वह स्थान है जहाँ विषमता को नियंत्रित किया जाना चाहिए ताकि अत्यधिक बेंडिंग न हो और संरचना सुरक्षित रहे।

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प्रश्न और उत्तर

1. प्रश्न: यदि एक ऊर्ध्वाधर लोड कॉलम पर विषम तरीके से लागू किया जाता है तो क्या होता है?

   • उत्तर: कॉलम आक्षिक तनाव (संपीड़न या तनाव) और बेंडिंग तनाव दोनों का अनुभव करेगा, क्योंकि लोड की विषमता होगी।

2. प्रश्न: अत्यधिक तंतुओं पर तनाव शून्य होने की शर्त क्या है?

   • उत्तर: अत्यधिक तंतुओं पर तनाव शून्य होने की शर्त तब होती है जब विषमता को नियंत्रित किया जाता है ताकि आक्षिक तनाव और बेंडिंग तनाव मिलकर तनाव को शून्य कर दें।

3. प्रश्न: आयताकार क्रॉस-सेक्शन के लिए मध्य तृतीयक नियम क्या है?

   • उत्तर: मध्य तृतीयक नियम कहता है कि यदि लोड मध्य तृतीयक में लागू किया जाता है, तो क्षेत्र के किसी भी हिस्से में तनाव उत्पन्न नहीं होगा, जिससे संरचना सुरक्षित रहती है।

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समीक्षा बिंदु 📌

1. आक्षिक लोड केवल प्रत्यक्ष तनाव उत्पन्न करता है, जबकि विषम लोड प्रत्यक्ष तनाव और बेंडिंग तनाव दोनों उत्पन्न करता है।
2. अधिकतम और न्यूनतम तनाव अत्यधिक तंतुओं और न्यूट्रल धुरी पर होते हैं, क्रमशः।
3. परिणामस्वरूप तनाव वितरण आक्षिक और बेंडिंग तनाव का संयोजन होता है, जो पूरे क्रॉस-सेक्शन में भिन्न होता है।
4. अत्यधिक तंतुओं पर तनाव को शून्य करने के लिए विषमता को नियंत्रित करना जरूरी होता है।
5. क्षेत्र का कोर वह क्षेत्र होता है जहाँ लोड को लागू किया जाना चाहिए ताकि कोई तनाव उत्पन्न न हो।
6. आयताकार क्रॉस-सेक्शन के लिए मध्य तृतीयक नियम यह सुनिश्चित करता है कि लोड का वितरण तनाव उत्पन्न नहीं होने देगा।

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