2. Slope and Deflection, Theory of Structures, CE 4003 (Same as CC 4003)

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Written by Garima Kanwar | Blog: Rajasthan Polytechnic

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Subject: Theory of Structures (CE 4003 Same as CC 4003)

Branch: Civil Engineering 🏗️
Semester: 4th Semester 📚

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2. ढलान और विकृति (Slope and Deflection)

ढलान और विकृति संरचनात्मक विश्लेषण के महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं, जो यह समझने में मदद करती हैं कि एक बीम लोड के तहत कैसे व्यवहार करती है। आइए इसे एक-एक करके समझते हैं:

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2.1 ढलान और विकृति का सिद्धांत (Concept of Slope and Deflection) 🌐

• ढलान (Slope): बीम के किसी बिंदु का घुमाव, लोड लागू होने के कारण। यह बीम की लंबाई के सापेक्ष कोणीय परिवर्तन की दर होती है।
  • गणितीय रूप से, ढलान किसी बिंदु पर विकृति के कोण का व्युत्पन्न होता है।
  • ढलान यह समझने में मदद करता है कि लोड के परिणामस्वरूप बीम कितनी मोड़ी जा रही है।
• विकृति (Deflection): बीम पर लागू लोड के कारण किसी बिंदु का ऊर्ध्वाधर विस्थापन। यह उस दूरी को संदर्भित करता है, जिस पर बीम अपनी मूल स्थिति से नीचे या ऊपर जाती है।
  • विकृति महत्वपूर्ण है क्योंकि अत्यधिक विकृति संरचनात्मक विफलता या सेवा समस्या का कारण बन सकती है।
  • सामान्यत: इसे बीम के मध्य या अन्य महत्वपूर्ण स्थान पर मापा जाता है।

उदाहरण: जब आप एक लकड़ी की छड़ी को केंद्र में धक्का देते हैं, तो वह मुड़ जाती है। वह कोणीय परिवर्तन ढलान होता है। और वह दूरी जिस पर छड़ी अपनी मूल स्थिति से नीचे जाती है, वह विकृति है।

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2.2 बीम की कठोरता (Stiffness of Beams) 🏋️‍♂️

• कठोरता बीम की लचीलापन का एक माप है, यानी यह लोड के तहत कितनी विकृति या मोड़ को सहन कर सकती है। एक कठोर बीम लोड के तहत कम विकृति अनुभव करेगी।

• कठोरता इस पर निर्भर करती है:

  1. जड़ता का मोमेंट (I): यह एक ज्यामितीय गुण है जो यह मापता है कि बीम का क्रॉस-सेक्शन मोड़ के खिलाफ कितना प्रतिरोधी है। बड़ा I का मतलब है अधिक कठोरता।
  2. सामग्री का यंग का मापांक (E): यह सामग्री का गुण है, जो यह बताता है कि सामग्री विकृति का विरोध करने में कितनी सक्षम है। अधिक E का मतलब है सामग्री अधिक कठोर है।

• कठोरता का सूत्र:

  $$\text{कठोरता} = \frac{EI}{L^3}$$

  जहां:

  • $E$ = यंग का मापांक (Modulus of Elasticity)
  • $I$ = जड़ता का मोमेंट (Moment of Inertia)
  • $L$ = बीम की लंबाई (Length of the Beam)

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2.3 बेंडिंग मोमेंट, ढलान, विकृति और घुमाव (Radius of Curvature) के बीच संबंध 🔄

इन मानकों के बीच संबंध बीम के लोड के तहत कैसे व्यवहार करता है, इसे समझने में मदद करता है:

• बेंडिंग मोमेंट (M): बीम के भीतर एक आंतरिक बल होता है, जो बीम को मोड़ने के खिलाफ प्रतिरोध करता है।
• ढलान (θ): बीम के किसी बिंदु पर मोड़ के कारण घुमाव का कोण।
• विकृति (δ): बीम के किसी बिंदु पर स्थानांतरण।
• घुमाव का त्रिज्या (ρ): विकृत बीम द्वारा बनाये गए वक्र का त्रिज्या।

यह संबंध इस समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है (सिद्धांत बिना):

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{M(x)}{EI}$$

यहां:

• $y$ = किसी बिंदु पर विकृति
• $x$ = बीम पर स्थिति
• $M(x)$ = $x$ स्थान पर बेंडिंग मोमेंट
• $E$ = यंग का मापांक
• $I$ = बीम के क्रॉस-सेक्शन का जड़ता मोमेंट

इसका मतलब है कि विकृति की दर (यानि ढलान) सीधे बेंडिंग मोमेंट से संबंधित होती है।

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2.4 डबल इंटीग्रेशन विधि (Double Integration Method) द्वारा ढलान और विकृति निकालना 🧮

डबल इंटीग्रेशन विधि एक सामान्य तरीका है जिसका उपयोग हम बीम के ढलान और विकृति निकालने के लिए करते हैं, जो विभिन्न प्रकार के लोड के तहत होती है।

2.4.1 संकेंद्रित लोड (Point Load) ⚡

जब एक संकेंद्रित लोड $P$ किसी बिंदु पर बीम पर लगाया जाता है, तो हम डबल इंटीग्रेशन विधि का उपयोग करके ढलान और विकृति निकाल सकते हैं।

• कैंटिलीवर बीम पर यदि $P$ लोड मुक्त छोर पर लगाया जाता है:
  • मुक्त छोर पर ढलान: $$\theta = \frac{P L^2}{3EI}$$
  • मुक्त छोर पर विकृति: $$\delta = \frac{P L^3}{3EI}$$
• सिर्फ सपोर्टेड बीम पर यदि $P$ केंद्र में लगाया जाता है:
  • सपोर्ट पर ढलान: $$\theta = \frac{P L}{16EI}$$
  • केंद्र पर विकृति: $$\delta = \frac{P L^3}{48EI}$$

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2.4.2 समान रूप से वितरित लोड (UDL) पूरी लंबाई पर 📏

जब एक समान रूप से वितरित लोड (UDL) $w$ पूरी बीम पर लागू होता है, तो हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करते हैं:

• कैंटिलीवर बीम पर UDL:

  • मुक्त छोर पर ढलान: $$\theta = \frac{w L^2}{6EI}$$
  • मुक्त छोर पर विकृति: $$\delta = \frac{w L^4}{8EI}$$

• सिर्फ सपोर्टेड बीम पर UDL:

  • सपोर्ट पर ढलान: $$\theta = \frac{w L^2}{8EI}$$
  • केंद्र पर विकृति: $$\delta = \frac{5w L^4}{384EI}$$

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चित्र (Diagrams)

1. कैंटिलीवर बीम पर संकेंद्रित लोड:

   |---------------------|<--- L
   |      P (Point Load) |
   |---------------------|       
   
   मुक्त छोर पर ढलान और विकृति लोड के बिंदु पर होती है।
   

2. सिर्फ सपोर्टेड बीम पर समान लोड:

   |----------- L --------|
   |                       |
   |--- w (समान लोड) -----|
   |-----------------------|
   

   अधिकतम विकृति बीम के केंद्र पर होती है।

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प्रश्न और उत्तर (Example Questions and Answers) 📚

1. प्रश्न: कैंटिलीवर बीम पर संकेंद्रित लोड $P$ लागू होने पर मुक्त छोर पर विकृति क्या होगी?

   • उत्तर: विकृति इस प्रकार दी जाएगी: $$\delta = \frac{P L^3}{3EI}$$ जहां $L$ लंबाई है, $P$ लोड है, $E$ यंग का मापांक है, और $\mathrm{I\; जड़ता\; का\; मोमेंट\; है।}$

2. प्रश्न: एक सिर्फ सपोर्टेड बीम पर समान रूप से वितरित लोड (UDL) के लिए ढलान कैसे निकाला जाता है?

   • उत्तर: सपोर्ट पर ढलान इस प्रकार दी जाती है: $$\theta = \frac{w L^2}{8EI}$$ जहां $w$ UDL है, $L$ लंबाई है, $E$ यंग का मापांक है, और $I$ जड़ता का मोमेंट है।

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समीक्षात्मक बिंदु (Revision Points) 📌

1. ढलान और विकृति बीम के लोड के तहत मोड़ और विस्थापन के माप हैं।
2. कठोरता लचीलापन का माप है और यह बीम की सामग्री और क्रॉस-सेक्शन पर निर्भर करती है।
3. बेंडिंग मोमेंट, ढलान, विकृति और घुमाव का त्रिज्या के बीच संबंध बीम के व्यवहार को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।
4. डबल इंटीग्रेशन विधि बीम के ढलान और विकृति निकालने का एक सामान्य तरीका है।
5. संकेंद्रित लोड और समान रूप से वितरित लोड (UDL) बीम के ढलान और विकृति पर विभिन्न प्रभाव डालते हैं।
6. ढलान और विकृति की गणना करते समय हमेशा ईकाइयों और मानकों की जांच करें।

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